exo sup

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: Mattawh

bonjour je dois trouver les couple (a,b) de N² tels que a^b=b^a . Je suis complètement bloqué a part écrire sous forme exponentielle je ne vois pas quoi faire !
Merci de votre aide


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Mattawh
bonjour je dois trouver les couple (a,b) de N² tels que a^b=b^a . Je suis complètement bloqué a part écrire sous forme exponentielle je ne vois pas quoi faire !
Merci de votre aide


\Large a^b = b^a

En prenant le logarithme :

\Large ln(a^b) = ln(b^a)

Soit : \Large b*ln(a)=a*ln(b)

D'où \Large \frac{ln(a)}{a} = \frac{ln(b)}{b}


Et si tu étudiais la fonction \Large \frac{ln(x)}{x} ?


Posted by: matthaw

Merci bien je vais chercher


Posted by: Galt

Il y a une solution évidente 4^2=2^4 , les solutions a=b, et je crois que ce sont les seules, mais c'est moins facile à prouver (on peut montrer que a et b ont forcément les mêmes facteurs premiers, par exemple, puis en supposant a<b , écrire a^{b-a}=\(\frac b a\)^a et prouver qu'aucune puissance d'un rationnel strict ne donne un entier. Ca entraine que \frac b a est entier, donc que b=na et on s'en tire (en fait, on va prover que b est forcément une puissance de a)


Posted by: Chimerade

Oui !
Je pense qu'on s'en tire aisément en étudiant la fonction que j'ai proposée. La courbe en question montre clairement qu'il n'y a que deux valeurs à tester : 1 et 2 ! Donc on tombera sur 2^4.
En fait, seulement une : 2. Car ln(1)=0 et déjà pour ça, on ne peut trouver aucun autre x...


Posted by: Non inscrit

exact je trouve seulement le couple (2,4) mais ma démo est plutot bancale !
c'est un exo posé a l'X , pas facile pour un sup :d










-