Suites et valheurs d'adhérance

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Posted by: Baby Dear

Salut,

En faite je galère sur un exercice de maths et j'aurais besoin d'un peu d'aide.

Donc on considère deux suites réelles, (Un) et (Vn), n appartenant à l'ensemble des entiers naturels, telles que la limite de Un+Vn en plus l'infini est nulle et la limite de exp(Un)+exp(Vn) en plus l'infini est 2. On nous demande de montrer que (Un) et (Vn) convergent. En faite cette exercice fait parti des exos sur la valheur d'adhérance mais je ne vois pas du tout le rapport....

Merci d'avance.


Posted by: fahr451

bonsoir


u et v sont bornées

on peut extraire des sous suites convergentes

la limite est forcément nulle

conclusion l'unique valeur d'adhérence des suites bornées est zéro

ces deux suites convergent donc vers 0


Posted by: Baby Dear

Je ne comprends pas pourquoi Un et Vn sont forcément bornées et pourquoi les sous suites qu'on peut en extraire sont de limite nul.


Posted by: fahr451

exp (un)=< 2 donc u n =< ln (2) et u est majorée idem pour v

si l 'une des deux disons u n 'était pas minorée on pourrait en extraire une sous suite de limite -infini et alors la sous suite correspondante de u+v tendrait aussi vers -infini et non vers 0


Posted by: Baby Dear

mais rien nous dit que Un est minorée.....


Posted by: fahr451

Citation:
Posté par fahr451
exp (un)=< 2 donc u n =< ln (2) et u est majorée idem pour v

si l 'une des deux disons u n 'était pas minorée on pourrait en extraire une sous suite de limite -infini et alors la sous suite correspondante de u+v tendrait aussi vers -infini et non vers 0

ceci exactement nous le dit


Posted by: Baby Dear

Re salut

J'ai compris maintenant pourquoi Un et Vn sont bornées. On peut alors utiliser Bolzano Weirstrass pour dire que chaque suite admet au moins une valeur d'adhérance. Parcontre comment savoir que cette valeur d'adhérance est nulle? Et comment conclure que Un et Vn convergent vers la valeur d'adhérance?

Merci d'avance.


Posted by: Baby Dear

Est ce que pour montrer que la valeur d'adhérence est nulle je dois faire un encadrement de la suite extraite ou pas? Parce que je n'arrive tjs pas à montrer que cette valeur d'ahérance est nulle...

Merci d'avance.


Posted by: fahr451

on extrait de u une suite extraite u phi(n) de limite L

puisque u+v->0

vphi(n) ->-L et

exp (u(phi(n) ) + exp(vphi(n)) -> exp(L) +exp (-L) = 2

donc L = 0

toute valeur d'adhérence de u est donc nulle

donc u bornée tend vers 0 sinon on pourrait trouver epsilon0 >0

et une infinité d'indices n avec l u n l > epsilon0 et de cette sous suite bornée (u l'étant) extraire une sous sous suite de limite L
vérifiant
|L |>= epsilon0 absurde










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