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Posted by: madameX

Bonjour,

On définit deux ensembles non vides A={a(n), n>= 1} et B={b(n), n>=1},
avec a(n)= E(n*phi) et b(n)= E(a(n)*phi)+1
Soit m un nombre entier non nul et n'appartenant pas à A. Soit p0 le plus petit des nombres entiers p>1 tels que m<p*phi ( phi= nb d'or).
On me demande de montrer que p0-1= a(m+1-p0) en procédant par double inégalité, l'une d'elle s'établit en utilisant le fait que m n'appartient pas à A.

J'ai essayé d'encadrer a(m+1-p0) avec les propriétés de la partie entière, mais je ne trouve pas l'inégalité qu'il faut utiliser en partant du fait que m n'appartient pas à A, dans ce cas m appartient à B mais je ne vois pas en quoi cela peut nous aider.
Des idées ?
Merci d'avance.

Posted by: busard_des_roseaux

bonjour,

$a_{0}=0,a_{1}=1,a_{2}=3,a_{3}=4,a_{4}=6,a_{5}=8,a_ {6}=9,a_{7}=11,a_{8}=12,a_{9}=14,a_{10}=16,a_{11}= 17,a_{12}=19..$

pour de grandes valeurs de l'indice, la suite $a_{n}$ a un comportement
irrégulier, bien que croissant.

$b_{1}=2,b_{2}=5,b_{3}=7,b_{4}=10,b_{5}=13,b_{6}=15 ,b_{7}=18..$

La seconde suite semble "boucher les trous" laissés par la première, ou remédier à son manque de surjectivité.

Je reposterai si je trouve qqe chose.

$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \sim 1,61..$
$\phi^2=\phi+1$

Posted by: busard_des_roseaux

par définition de $p_{0}$

$\displaystyle (p_{0}-1) \phi < m < p_{0} \phi$

on multiplie par $\phi$ et on utilise $\phi^2=\phi+1$

d'où:

$\displaystyle (p_{0}-1) < \left( m+1-p_{0} \right) \phi < p_{0} + \phi$

d'où:

$\displaystyle (p_{0}-1) \leq a( m+1-p_{0} )$

Posted by: madameX

Merci beaucoup. Il me reste à trouver un autre encadrement pour bien démontrer l'égalité. Je continue de chercher mais as tu une idée ?
Bonne journée

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par busard_des_roseaux

$\displaystyle (p_{0}-1) < \left( m+1-p_{0} \right) \phi < p_{0} + \phi$

en prenant les parties entières:

$\phi$ vaut 1,6..

d'où:

$\displaystyle (p_{0}-1) \leq a( m+1-p_{0}) \leq p_{0}+1$

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par busard_des_roseaux

$\displaystyle (p_{0}-1) \leq a( m+1-p_{0}) \leq p_{0}+1$

$a( m+1-p_{0})$ étant entier, ça ne fait que trois cas possibles.

Il reste à éliminer le cas:

$\displaystyle p_{0} \leq a( m+1-p_{0}) \leq p_{0}+1$

En multipliant par $\phi$

$\displaystyle m < p_{0}\phi \leq a( m+1-p_{0}) \phi$

en prenant les parties entières:

$\displaystyle m+1 \leq b( m+1-p_{0})$

or, ça, ça n'a pas l'air possible, car en examinant les termes
de la suite $(b_{n})$ , on constate expérimentalement que:

$\displaystyle b( m+1-p_{0})=m$

encore faut il le montrer.

Posted by: madameX

Je t'embête une dernière fois mais je ne comprends vraiment pas en quoi cette inégalité : p0-1<a(m+1-p0)<p0+1 prouve que p0-1= a (m+1-p0)....

Posted by: busard_des_roseaux

Il n'y a que trois cas possibles:

$\begin{\array}<br /> \|<br /> a(m+1-p0)=p_{0} -1 \\<br /> a(m+1-p0)=p_{0} \\<br /> a(m+1-p0)=p_{0} + 1$

Il s'agit d'éliminer les deux derniers cas.

Posted by: madameX

ok, merci pour ton aide ! Je vais me débrouiller.

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par madameX

ok, merci pour ton aide ! Je vais me débrouiller.

c'est dur , la manche