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suites
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Posted by: mehdi-128

Soit (w(n)) une suite telle que :

lim(n->+inf)(w(n)-w(n-1))=l.Montrer que lim w(n)/n=l.

J'avais d'abord pensé aux suites arithmétiques mais c'est une égalité de limites donc je suis bloqué....

Posted by: fahr451

il faut revenir à la définition en termes d epsilon

Posted by: mehdi-128

Ah j'ai une idée peut-on utiliser le théorème de Césaro?

Posted by: fahr451

absolument a condition de le connaitre )

Posted by: mehdi-128

J'ai réussi en utilisant le théorème de Césaro.Si (u(n)) tend vers l alors :
(u1+.........+un)/n tend vers l.
Mais je bloque sur la question suivante:

lim u(n)/u(n-1)=l implique: lim (u(n))^1/n =l

Posted by: kazeriahm

essaye de transformer ton quotient en une différence ?!

Posted by: mehdi-128

Ah avec le logarithme:

ln(u(n)/u(n-1)) =ln(u(n))-ln(u(n-1)) alors ln(u(n))/n tend vers ln(l) donc :
ln(u(n)) equivalent a n*ln(l) donc:
u(n) equivalent a exp(n*ln(l))
ainsi : (u(n))^(1/n) équivalent a l.

Posted by: kazeriahm

deja verifie les deux derniers lignes de ton raisonnement : elles sont fausses et te conduisent a un résultat différent de celui attendu.

ensuite verifi que tu as bien le droit de passer au ln...

Posted by: Pythales

Par hypothèse, il existe $N$ tel que pour $k>N$ on a
$I-\epsilon<u_{k+1}-u_k<I+\epsilon$
$I-\epsilon<u_{k+2}-u_{k+1}<I+\epsilon$
.................................
$I-\epsilon<u_{k+n}-u_{k+n-1}<I+\epsilon$
par sommation
$n(I-\epsilon)<u_{n+k}-u_k<n(I+\epsilon)$
soit
$I-\epsilon<\frac{u_{n+k}}{n}-\frac{u_k}{n}<I+\epsilon$
Il ne reste plus qu'à faire tendre $n \rightarrow \infty$

Posted by: mehdi-128

oula bien compliqué et de la derniere ligne je vois pas quoi en faire...

Posted by: sue

juste une question à propos du th de Césaro . a-t-on la réciproque ?

merci

ps : désolée mehdi_128 d'avoir posé la question dans ton topic , la flemme d'ouvrir un autre lol :)

Posted by: fahr451

non pas de réciproque

exemple u(n) = (-1)^n

réciproque bien sûr dans le cas où u est monotone

Posted by: sue

ok merci .

bonne journée