* 1ère question : on trouve dans les livres, la comparaison en o et en O
d'une suite vectorielle par rapport à une suite réelle positive; Peut-on
comparer deux suites vectorielles entre elles ? si oui, pourquoi les livres
ne le mentionnent-ils pas ?
*2ème question : pourquoi le théorème de Bolzano-Weierstrass est-il faux
dans un espace normé de dimension infinie ?
Merci !
Posted by: Julien Santini
> * 1ère question : on trouve dans les livres, la comparaison en o et en O
> d'une suite vectorielle par rapport à une suite réelle positive; Peut-on
> comparer deux suites vectorielles entre elles ? si oui, pourquoi les
livres
> ne le mentionnent-ils pas ?
>
Tu peux très bien imaginer de définir v_n = o(u_n) <=> pour tout epsilon>0,
il existe N tel que n>=N => Norme(v_n) <= epsilon*Norme(u_n) (u_n et v_n
éléments d'un evn). Mais pour des passages à la limite (notamment pour les
différentiations) ce qui t'intéresse c'est le comportement numérique des
normes des éléments et rarement le comportement relatif de normes d'éléments
de deux suites vectorielles ...
> *2ème question : pourquoi le théorème de Bolzano-Weierstrass est-il faux
> dans un espace normé de dimension infinie ?
>
Il est vrai dans tout espace topologique : tout partie compacte admet un
point d'accumulation. Si tu as la formulation: "toute suite d'un compact
admet une valeur d'adhérence" alors celà n'est vrai que pour des espaces
admettant une base de voisinages dénombrable en tout point (par ex. pour les
espaces métriques). Si tu as la formulation "dans tout fermé borné d'un evn,
toute suite admet une valeur d'adhérence" alors là ça n'est plus vrai en
dimension infinie parce que le théorème de Riesz (une partie bornée d'un evn
est relativement compacte <=> l'evn est de dimension finie <=> la boule
unité fermée est compacte).
--
Julien Santini
Posted by: Romain M
> *2ème question : pourquoi le théorème de Bolzano-Weierstrass est-il faux
> dans un espace normé de dimension infinie ?
>
Je suppose que la version que tu as vue est :
toute suite bornée dans un evn de dimension finie admet au moins une valeur
d'adhérence,
c'est ça ?
Posted by: Romain M
> Je suppose que la version que tu as vue est :
> toute suite bornée dans un evn de dimension finie admet au moins une
valeur
> d'adhérence,
> c'est ça ?
Si c'est bien ce théorème dont tu parles,
en se plaçant dans lR[X], avec la norme suivante :
pour P(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_n*X,
|| P || = somme des |a_i|.
On considère la suite de polynômes :
(P_n) = (X^n) \in (lR[X])^lN
pour tout n entier naturel, || P_n || = 1.
La suite est bien bornée.
Une suite extraite de (P_n) s'écrit sous la forme (X^phi(n)) avec phi :
lN -> lN strictement croissante.
Une telle suite n'est pas convergente, car sinon, en notant P sa limite, et
en posant P(X) = a_0 + a_1*X + ... a_p*X^p,
pour n > p on a alors
|| P(X) - X^phi(n) ||
= [somme des |a_i|] + 1
ce nombre est >0 et ne dépend pas de n...
Voilà, c'est un contre-exemple que je viens de trouver, j'espère que je n'ai
pas fait d'erreur.
Posted by: graz
merci, c'était bien de ce théorème que je parlais !
"Romain M" <romain-m@nospam@ifrance.com> a écrit dans le message de
news:419b909e$0$12649$626a14ce@news.free.fr...
> > Je suppose que la version que tu as vue est :
> > toute suite bornée dans un evn de dimension finie admet au moins une
> valeur
> > d'adhérence,
> > c'est ça ?
>
> Si c'est bien ce théorème dont tu parles,
> en se plaçant dans lR[X], avec la norme suivante :
> pour P(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_n*X,
> || P || = somme des |a_i|.
> On considère la suite de polynômes :
> (P_n) = (X^n) \in (lR[X])^lN
> pour tout n entier naturel, || P_n || = 1.
> La suite est bien bornée.
> Une suite extraite de (P_n) s'écrit sous la forme (X^phi(n)) avec phi :
> lN -> lN strictement croissante.
> Une telle suite n'est pas convergente, car sinon, en notant P sa limite,
et
> en posant P(X) = a_0 + a_1*X + ... a_p*X^p,
> pour n > p on a alors
> || P(X) - X^phi(n) ||
> = [somme des |a_i|] + 1
> ce nombre est >0 et ne dépend pas de n...
>
> Voilà, c'est un contre-exemple que je viens de trouver, j'espère que je
n'ai
> pas fait d'erreur.
>
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