Mathématiques - exo suites

exo suites
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Posted by: xie

salut,

voilà un autre exo surlequel je bloque

soit $(U_n)_{n\geq1}$ la suite définie par : $U_1 =2$ et ( $\forall n \in N*$ ) $U_{n+1} = 1 + aU_n$ (ou $a$ est un paramétre réel )

1) déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles $(U_n)$ est une suite arithmétique .
2) déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles $(U_n)$ est une suite convergente en déterminant sa limite .

bon pour la 1) je trouve une seule valeur a=1

et pour 2) je ne vois rien ! faut-il utiliser la définition de la limite d'une suite ?

qq pistes svp ?
merci

Posted by: sandrine_guillerme

pour la 1..

c'est quoi la définition d'une suite arithmétique? (eh bien elle s'ecrit sous la forme U_n = U_0 + nr

Posted by: xie

re, pour la 1) c'est ce que j'ai utilisé ! je sais pas si c'est la bonne méthode mais voilà ce que j'ai fait : (Un) est une s. arithmétique donc $U_n = U_1 + (n-1)r = 2 + (n-1)(2a-1)$
soit $U_{n+1} = 1 + 2a + a(n-1)(2a-1)$
et d'autre parts on a $U_{n+1} - U_n = 2a - 1$ donc $(2a-1)(1+a(n-1)-(n-1)) = 2a-1$ i.e $1+(n-1)(a-1) = 1$ soit $a=1$ ou $n=1$

est-ce juste ?

Posted by: sandrine_guillerme

moi sa m'a lair juste ..

P.S : tu as parler avec ta prof concernant le problème que tu avais ?

Posted by: tize

Bonsoir,
je ne suis pas tout à fait ok...
$u_n$ est une suite arithmétique si la différence de deux termes consécutifs quelconque est constante...autrement dit si $u_{n+1}-u_n=cste$ mais $u_{n+1}-u_n=1-(a-1)u_n$ cela signifie donc que $(a-1)u_n$ est constant. Donc deux possibilités : soit a=1 soit $u_n$ est constant et dans ce dernier cas cela veut dire que $u_{n+1}=u_n=1+au_n$ d'ou $a=\frac{1}{2}$ (compte tenu de $u_0$ ) et la suite est arithmétique de raison 0 (constante égale à 2 et aussi convergente)

Posted by: xie

ok merci Sandrine .

PS : regarde tes mp .

Posted by: xie

ah OK , merci Tize .

Posted by: xie

bonjour,

concernant la 2ème question comment puis-je déterminer toutes les valeurs de a pour lesquelles (Un) est convergente ?
d'aprés la première question on a pour a=1/2 (Un) ceverge vers 2 car la suite sera constante mais est-ce la seule valeur ?

Tize -- je crois aussi que mon raisonnement est bon pour la 1ère question mais j'ai pas conclut l'autre valeur de a , j'ai aboutit à

Citation:

Posté par xie

: $1+(n-1)(a-1) = 1$ soit $a=1$ ou $n=1$

donc du dernier cas n=1 on déduit que Un est constante et que $1+aU_1 = U_1$ soit a=1/2

Posted by: xie

une piste svp pour la 2ème question ?!

Posted by: kazeriahm

ta suite Un est une suite arithmetico geometrique, il y a une methode tres generale pour ca :

cherche A une constante reelle telle que la suite (Un-A) soit geometrique, deduis en Un en fonction de n, et conclus

Posted by: tize

Bonsoir,
Si a=1, la suite diverge clairement ( $+\infty$ )
Sinon, essaye d'étudier la suite $v_n=u_n+\frac{1}{a-1}$ , montre qu'elle est géométrique de raison a

Posted by: xie

Citation:

montre qu'elle est géométrique de raison a

oui j'ai démontré ça , c simple en fait,

Citation:

cherche A une constante reelle telle que la suite (Un-A) soit geometrique, deduis en Un en fonction de n, et conclus

je trouve : $U_n = a^n \left(\frac{a}{a-1} + 1\right) + \frac{1}{1-a}$

donc (Un) coonverge seulement si : $|a|< 1$ et dans ce cas elle converge vers $\frac{1}{1-a}$

est-ce juste ?

merci

Posted by: tize

J'ai pas fait les calculs mais oui, ça doit être ça...

Posted by: xie

xie xie Tize et Kazeriahm

ps : xie xie = merci

Posted by: shtefi

Bonsoir :

Pour ce qui est de la suite Un+1 = 1 + a.Un , a appartenant au moins à Q voir R je suppose, on peut toujours écrire :

Un+1 = f(Un) = 1 + a.Un <=> f(x) = 1 + a.x

Dans ces conditions on réalise immédiatement que (Un) ne converge que si a < 1
puisque limf = 1
x +inf
a < 1

Donc pour a < 1 , (Un) converge vers 1

Posted by: tize

Citation:

Posté par shtefi

Bonsoir :

Pour ce qui est de la suite Un+1 = 1 + a.Un , a appartenant au moins à Q voir R je suppose, on peut toujours écrire :

Un+1 = f(Un) = 1 + a.Un <=> f(x) = 1 + a.x

Dans ces conditions on réalise immédiatement que (Un) ne converge que si a < 1
puisque limf = 1
x +inf
a < 1

Donc pour a < 1 , (Un) converge vers 1

Je suis désolé, je ne comprends absolument pas ce que tu veux dire, ça ma l'air assez incohérent !