Mathématiques - suites et series de fonctions

suites et series de fonctions
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Posted by: fonfon

Salut, je sais pas si ca a été déja posé car c'est rare que je vienne ici:

Soit $\Large{(P_n)_{n\ge0}}$ une suite de polynômes à coefficient réels, convergeant sur R uniformément, vers une fonction f.

Prouver alors que f est un polynôme.

Ps:ce n'est pas trop dur

Posted by: abel

Y a un truc que je comprend pas :
Si on prend :
Pn = somme(k=1..n ; x^k)
Pn est bien un polyonme et pourtant il converge vers 1/(1-x) (pour |x|<1).
Enfin j'ai ptetr zappé une étape...

Posted by: fonfon

Salut, je pense que tu as peut-être zappé qq chose

moi j'utilise le fait que $\Large{(P_n)_{n\ge{0}}$ verifie le critère de Cauchy uniforme.ET que seuls les polynomes constant sont bornés sur R....

Posted by: Bija

Oui mais ne converge pas uniformément sur R, donc ca ne correspond pas aux hypothéses du probléme posé : si on remplace R par un intervalle borné ca change tout !

Pour la solution, on a pour n>N, || Pn-PN|| <1 or les seuls polynomes bornés sont les polynomes constants donc il existe une suite de réels an tq Pn=PN+an, pour n>N. La suite an converge donc vers f(0)-PN(0)=k, mais aussi vers f(x)-PN(x), puisque Pn(x) converge vers f(x) qd n tend vers +infini, qq soit x réel.
D'ou f=PN+k est un polynôme.

Posted by: fonfon

bien Bija je vais juste redétailler un peu

La suite $\Large{(P_n)_{n\ge{0}}$ verifie le critère de Cauchy uniforme.

Soit $\Large\epsilon>0$ ; alors $\Large\exists{N}\in\mathbb{N},\forall{n}\ge{N}$ , $\Large\forall{p}\in\mathbb{N},$ $\Large\forall{x}\in\mathbb{R},|P_n(x)-P_{n+p}(x)|\le\epsilon$

donc $\Large\forall{p}\in\mathbb{N},\forall{x}\in\mathbb {R}$ , $|P_N(x)-P_{N+p}(x)|\le\epsilon$

Or seuls les polynômes constants sont bornés sur R, donc:
$\Large\forall{p}\in\mathbb{N},\exists{C_p}\in{R}$ , $\Large\forall{x}\in\mathbb{R}$ $\Large{P_N(x)+C_p=P_{N+p}(x)}$ .

La suite $\Large{(P_{N+p}(0))_{p\in{N}}$ converge vers f(0), donc la suite $\Large{(C_p)_{p\in{N}}$ converge vers $\Large{f(0)}-P_N(0)$ .

$\Large\forall{x}\in\mathbb{R}$ , on a:

$\Large{f(x)}=\lim_{p\to+\infty}P_{N+p}(x)=P_N(x)+\ lim_{p\to+\infty}C_p=P_N(x)-P_N(0)+f(0)$

donc $\Large\forall{x}\in\mathbb{R},f(x)=P_N(x)-P_N(0)+f(0)$
donc f est bien un polynôme

A+

Posted by: atito

bien évidemment, cet exo n'est pas d'un olympiade mais juste le cours du SUP!!
Fallait penser à le poster dans supérieur je pense

Posted by: Bija

la convergence uniforme se voit en spé.