Suites récurrentes

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Posted by: prepagirl

Bonjour je narrive pas a montrer par récurrence sur n la formule suivante
Supposons que S = Somme sigma
Pour tout n appartien a N

n
S k/2^k=4-(2-n+2/2^(n-1))
k=0

Merci de m'aider
Par ou commencer?


Posted by: danskala

salut prepagirl,

pour n=1, cela n'a pas l'air de marcher.

Est-ce que ta formule est correctement tapée ?


Posted by: prepagirl

ah oui je me suis trompé voici la formule exacte
Pour tout n appartient a N

n
S k/2^k= 4 -(n+2/ 2^(n-1))
k=0

Si vous faites attention a toutes les parenthèses normalement c'est bon
je précise que le n-1 est en indice
ainsi que le k dans 2^k

Et que (n+2/ 2^(n-1)) est une fraction donc 4 moins tout le tralala

S représente Somme, sigma


Posted by: tristan

Bonsoir prepagirl, la bonne formule est \large{\sum_{k=0}^{n} \ \frac{k}{2^k}=2 - \frac{n+2}{2^{n}}}.
Pour la trouver directement tu peux y aller par décalage d'indice. Sinon par récurrence c'est immédiat.

De manière générale si tu n'arrive pas à prouver par récurrence une formule simple, c'est qu'elle est fausse.


Posted by: danskala

salut tristan,

Qu'est-ce que tu entends par décalage d'indice?


Posted by: tristan

Salut, je m'exprime sans doute mal. Pour trouver la formule j'ai calculé S_{n+1} en fonction de S_{n} de deux manières. Et j'ai utilisé un changement de variable type K=k+1.
S_{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} \ \frac{k}{2^k}=S_{n} \ + \ \frac{n+1}{2^{n+1}}

Mais on a aussi

S_{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} \ \frac{k}{2^k} =\sum_{k=1}^{n+1} \ \frac{k}{2^k} = \sum_{k=0}^{n} \ \frac{k+1}{2^{k+1}} ("décalcage d'indice" si ça se dit)

D'où

\ S_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \ \frac{1}{2}(\frac{k}{2^k}+\frac{1}{2^k})= \frac{1}{2} S_{n}\ + \ 1 - \frac{1}{2^{n+1}}

Et le résultat suit. Tu peux par exemple calculer la somme des n premières puissance de 2, de 3 etc... avec cette methode (en anglais ils disent methode des perturbations)


Posted by: danskala

OK, merci pour l'astuce.


Posted by: prepagirl

salut merci alor j'utilise cette nouvelle formule alors pour faire initialisation hérédité etc?










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