suites récurrentes linéaires

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Posted by: shtefi

J'ai un problème concernant les racines distinctes complexes conjuguées
pe^(+ou- it)
de l'équation caractéristique r²-ar-b = 0 des suites récurrentes. Dans mon manuel de maths, la solution générale est de la forme :
Un = c1r1^n + c2r2^n
Le manuel ne précise cependant pas ce que sont c1 et c2. En outre il propose de ramener la solution sous la forme :
Un = p^n (v sin(nt) + u cos(nt))

Ce résultat me semble incorrect, mais je n'en suis pas sûr. Quelqu'un pourrait-il confirmer ou infirmer ce résultat, et, si possible, me donner alors une solution plus adéquate ?
Désolé de ne pouvoir faire plus lisible mathématiquement

NB : ^ <=> exposant


Posted by: quinto

Bonjour,
C1 et C2 dépendent de U(0) et U(1).


Posted by: cesar

si ta suite est reelle et les racines complexes, alors elle sont complexes conjugués et tes coefs C1 et C2 aussi. Il doit donc être possible de faire apparaitre ces cosinus et/ou des sinus en prenant la partie reelle de l'équation, mais il faut connaitre c1 et c2...


Posted by: shtefi

Je ne sais pas si c1 et c2 dépendent de U0 et U1, le manuel ne le précisant pas


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par shtefi
J'ai un problème concernant les racines distinctes complexes conjuguées
pe^(+ou- it)
de l'équation caractéristique r²-ar-b = 0 des suites récurrentes. Dans mon manuel de maths, la solution générale est de la forme :
Un = c1r1^n + c2r2^n
Le manuel ne précise cependant pas ce que sont c1 et c2. En outre il propose de ramener la solution sous la forme :
Un = p^n (v sin(nt) + u cos(nt))

Ce résultat me semble incorrect, mais je n'en suis pas sûr. Quelqu'un pourrait-il confirmer ou infirmer ce résultat, et, si possible, me donner alors une solution plus adéquate ?
Désolé de ne pouvoir faire plus lisible mathématiquement

NB : ^ <=> exposant


Oui, c'est correct !

Un=c1*[p*exp(it)]^n + c2*[p*exp(-it)]^n

Citation:
Posté par cesar
si ta suite est reelle et les racines complexes, alors elle sont complexes conjugués et tes coefs C1 et C2 aussi. Il doit donc être possible de faire apparaitre ces cosinus et/ou des sinus en prenant la partie reelle de l'équation, mais il faut connaitre c1 et c2...


C'est le fait que la suite est réelle qui implique que les coefficients c1 et c2 soient complexes conjugués : c1=a+ib, c2=a-ib. Alors :

Un=(a+ib)*p^n*[cos(nt)+i*sin(nt)] + (a-ib)*p^n*[cos(nt)-i*sin(nt)]

Un=p^n * 2 * [a*cos(nt)-b*sin(nt)]

Citation:
Posté par quinto
C1 et C2 dépendent de U(0) et U(1).

Citation:
Posté par shtefi
Je ne sais pas si c1 et c2 dépendent de U0 et U1, le manuel ne le précisant pas


C'est quinto qui a raison. Une fois que tu as déterminé p et t, l'équation :

Un=c1*r1^n+c2*r2^n

montre bien que U0=c1+c2
et que U1=c1*r1+c2*r2

qui se présente comme un système de deux équations à deux inconnues c1 et c2. Il est évident que c1 et c2 dépendent de U0 et de U1. Tu peux également travailler directement avec p et t :

U0=2 * [a]
U1=p * 2 * [a*cos(t)-b*sin(t)]

Nouveau système de deux équations à deux inconnues a et b qui se résoud immédiatement et dont la solution dépend à l'évidence de U0 et U1.










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