Suites de récurrences Terminale S

[Margot-08]

Bonjour, :happy3:

Je suis en Terminale S et nous venons d'attaquer le cour sur les suites de récurrences. J'ai quelques difficultés à comprendre le cour et du coup des problèmes pour faire mes exercices.

Voilà un exercice qui me pose problème :

On considère la suite () dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n 1

et

Voici les dix premiers termes de cette suite.












a) Détailler le calcul permettant d'obtenir
b) Donner la nature de la suite ( ). Calculer .

Voilà ce que j'ai fait pour le moment :

a) 10

b) ??? :mur:

Je ne sais pas comment commencer pour le b, je suis un peu perdue.
Pourriez-vous me donner une piste svp ?

Merci d'avance.

[oscar]

Bjr

W 10 = w1 +10r= 1+20=21

w2009= w1 +2009*2=1+4018=

en général wn = w1+n *r

[gigamesh]

bonsoir,
oublie tout ce que tu as fait après le CP et observe :
1 3 5 7 9 11 13 ...

Tu penses que ça continue comment ?

Bon maintenant reviens en 1S et rappelles-toi les suites "classiques" ;
quelle genre de réponse peut-on apporter à la question "quelle est la nature de la suite" ?

Il reste à prouver ce qu'on a envie de dire (une récurrence par exemple).

[Margot-08]

Merci à vous deux.

bonsoir,
oublie tout ce que tu as fait après le CP et observe :
1 3 5 7 9 11 13 ...
Tu penses que ça continue comment ?

Je pense que ça continue avec tous les chiffres impaires, c'est à dire ... 13 15 17 19 21 23 25 ...

Bon maintenant reviens en 1S et rappelles-toi les suites "classiques" ; quelle genre de réponse peut-on apporter à la question "quelle est la nature de la suite" ?

Je pourrais donc faire la conjecture que , la suite serait donc une suite arithmétique.

Je cherche donc à prouver la propriété P(n) : avec

Initialisation au rang 1 :
donc P(1) est vraie.

Hérédité au rang n :
Je suppose



Donc P(n+2) est vraie

Si au rang n, alors comme par application du principe de récurrence, on déduit
avec

Donc est une suite arithmétique de raison 2.



C'est ça ? La rédaction est-elle bonne ?

[gigamesh]

Merci à vous deux.



Je pense que ça continue avec tous les chiffres impaires, c'est à dire ... 13 15 17 19 21 23 25 ...

On dirait bien !

Je pourrais donc faire la conjecture que , la suite serait donc une suite arithmétique.

Ouaip, ou bien tu pourrais conjecturer que pour tout , ce qui serait plus direct à démontrer par récurrence.

Je cherche donc à prouver la propriété P(n) : avec

Initialisation au rang 1 :
donc P(1) est vraie.

Hérédité au rang n :
Je suppose

Jusque là tout allait bien.

Donc P(n+2) est vraie

mais la tu pars en vrille.
Tu t'es convaincu toi-même ?
Pasque moi tu m'as pas convaincu...

Si au rang n, alors comme par application du principe de récurrence, on déduit
avec

Donc est une suite arithmétique de raison 2.



C'est ça ? La rédaction est-elle bonne ?

L'étape cruciale de la récurrence est lamentablement foirée, mais tout ce qui est autour est correct (sauf l'usage abusif de à la place de donc, en particulier tout à la fin).

Essaie plutôt de montrer que (toujours par récurrence)

[Margot-08]

Tu t'es convaincu toi-même ?
Pasque moi tu m'as pas convaincu...

C'est vrai que j'étais pas super sûre de moi mais bon "qui ne tente rien n'a rien" :happy3:

Essaie plutôt de montrer que (toujours par récurrence)

Ok c'est reparti :

Je cherche donc à prouver la propriété P(n) :

Initialisation au rang 1 :
donc P(1) est vraie.

Hérédité au rang n :
Je suppose




(Ici je ne suis pas super sure de moi. Je suppose que je doit prouver que , mais je ne sais pas comment ... Je continu quand même)

Donc P(n+1) est vraie.

Si au rang n, alors comme par application du principe de récurrence, on déduit




C'est mieux ?

[gigamesh]

Hérédité au rang n :
Je suppose




(Ici je ne suis pas super sure de moi. Je suppose que je doit prouver que , mais je ne sais pas comment ... Je continu quand même)

Donc P(n+1) est vraie.

Salut,
le problème est encore dans la partie hérédité ;
je pense que tu n'as pas vu l'essentiel :
dans la partie hérédité, tu vas utiliser
*
* la relation
et tu vas prouver
=> soit

Une indication : ça commence par "supposons que pour un certain entier n on ait ; nous allons utiliser la relation de récurrence (tu remarqueras qu'on a pris la relation de récurrence pour passer du rang n au rang n+1) pour prouver qu'on a bien "

[Margot-08]

Salut,

la relation

J'ai bien cherché dans mes cours mais je n'ai pas trouvé cette relation et je ne la comprend pas très bien ...

supposons que pour un certain entier n on ait ; nous allons utiliser la relation de récurrence

Entre-autres je ne comprend pas non plus comment tu l'utilise ici ...
Et encore moins comment tu arrive à à partir de

[gigamesh]

Salut,



J'ai bien cherché dans mes cours mais je n'ai pas trouvé cette relation et je ne la comprend pas très bien ...



Entre-autres je ne comprend pas non plus comment tu l'utilise ici ...
Et encore moins comment tu arrive à à partir de

Tu ne risques pas de trouver cette relation dans ton cours,
c'est une relation de récurrence qui vient simplement de l'énoncé ;
pour t'en servir, tu peux la voir ainsi :


Et pour arriver à à partir de , utilise ton hypothèse de récurrence en remplaçant par 2n+1...

[Margot-08]

Tu ne risques pas de trouver cette relation dans ton cours, c'est une relation de récurrence qui vient simplement de l'énoncé

:euh: ah oui ...

tu peux la voir ainsi :

donne
mais après comment obtiens tu ?

Et pour arriver à w_{n+1}=2(n+1)+1 à partir de (n+1)w_{n+1}=(n+1+1)w_{n+1-1}+1, utilise ton hypothèse de récurrence en remplaçant w_n par 2n+1...

d'où


donc

donc P(n+1) est vraie.

[gigamesh]

Oops je me suis un peu mélangé les pinceaux dans les indices.

bon pour ta récurrence ça m'a l'air pas mal du tout !

Est-ce que ça te semble plus convaincant ?

[Margot-08]

Oui, merci beaucoup je pense avoir beaucoup mieux compris le fonctionnement de la récurrence. Reste à voire si j'arrive a l'appliquer sur les autres exercices où je bloquais. Encore merci ! :+++: