Suites et probabilités

[houthor]

Bonjour, je rencontre des difficultés sur un exercice mêlant probabilité et suites.
Voici l'énoncé :

Un professeur oublie fréquemment les clefs de sa salle de classe.
Pour tout entier n;)1, on note On (n est en indice) l'évènement : "le professeur oublie ses clefs le jour n" et On (Il y a une barre au dessus de On, n toujours en indice) l'évènement contraire de On.
De plus, on pose pn = P(On) (pour pn, n est aussi en indice, pour noter les suites)
La probabilité qu'il oublie ses clefs le 1er jour est de 2/5. On suppose en outre que :
- Si le jour n, il oublie ses clefs, la probabilités qu'il les oublie encore le jour (n+1) est de 3/10.
- Si le jour n, il n'oublie pas ses clefs, la probabilités qu'il les oublie le jour (n+1) est de 1/5

1) a. (inutile de répondre à cette question, c la seule que j'ai réussi à faire ) Compléter l'arbre de probabilités donné en annexe.
b. Montrer que p2 = 6/25 (2 est donc en indice)
2) a.Exprimer la probabilité de l'évènement contraire de On en fonction de pn
b. Montrer que pn+1 = 1/5 + 1/10*pn pour tout n;)1. (n+1 est également en indice)
3)Soit (qn) la suite définie par qn = pn-2/9 pour tout n;)1.
a. Montrer que qn+1 = 1/10qn pour tout n;)1.
b. En déduire la nature de la suite (qn) puis exprimer qn en fonction de n.
c. Exprimer alors pn en fonction de n puis déterminer puis déterminer la limite de la suite (pn).

Voilà, je remercie d'avance ceux ou celles qui se seront penchés sur mon problème...
Bye

[fonfon]

salut,

b. Montrer que p2 = 6/25 (2 est donc en indice)

P2: c'est la probabilité qu'il oublie ses clés le 2eme jour et qu'il ne les a pas oublié le 1er jour + la probabillité qu'il les oublie le 2eme jour et qu'il ne les a pas oublié le 1er jour

on a donc

or on a d'apres l'ennoncé

- Si le jour n, il oublie ses clefs, la probabilités qu'il les oublie encore le jour (n+1) est de 3/10.

(proba condi.)

on a donc

de même

- Si le jour n, il n'oublie pas ses clefs, la probabilités qu'il les oublie le jour (n+1) est de 1/5

on a donc

donc

2) a.Exprimer la probabilité de l'évènement contraire de On en fonction de pn
b. Montrer que pn+1 = 1/5 + 1/10*pn pour tout n;)1. (n+1 est également en indice)

la probabilité de l'evenement contraire de On c'est1-p_n


b) pour mieux comprendre tu peux te servir de la question 1) b) et formule de proba condi

3)Soit (qn) la suite définie par qn = pn-2/9 pour tout n;)1.
a. Montrer que qn+1 = 1/10qn pour tout n;)1.
b. En déduire la nature de la suite (qn) puis exprimer qn en fonction de n.
c. Exprimer alors pn en fonction de n puis déterminer puis déterminer la limite de la suite (pn).

a) calcule qn+1 tu remplaces pn+1 trouver precedemment

b) c'est du cours

c) c'est du cours

A+