Suites et intégrales

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Posted by: jk



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Bonjour tout le monde,

Je me trouve face à des difficultés pour un exercice, ça fait déjà quelques
jours que je réfléchis dessus... je ne demande pas de réponses toutes faites
mais juste un peu d'aide pour me guider sur le bon chemin... merci d'avance

Partie B pour cette partie {(de 0 à 1) équivaut à intégrale de 0 à 1
et (-1)^(n-1) équivaut à -1 à la puissance n-1

La continuité assure l'existence de l'intégrale J. On ne cherchera pas à
calculer une primitive de f.

I. Etude d'une intégrale auxiliaire

n est un entier naturel, n > ou = 1.
On note gn la fonction définie sur [0; 1] par :
gn(t)=-t"lnt si t>O et gn(O)=O.

1. Vérifiez que gn est continue sur [o; 1].

2. On note Gn la fonction définie sur [0; 1] par :
{ Gn(t)=-[t^(n+1)*lnt]/(n+1) + t^(n+1)/(n+1)² si t>0
Gn(O) = 0

a) Démontrez que Gn est une primitive de gn sur [0; 1].

b) Déduisez-en Jn = {(de 0 à 1) gn(t)dt.

II. Etude de J

1. t est un réel et n est un entier, n> ou =1.
a) Calculez Pn(t) = (1 + t) [1- t + t² + ... + (-1)^(n-1)*t^(n-1)].

b) Déduisez-en que pour tout réel t différent de -1 :

1/(1+t)=1-t+t²+...+(-1)^(n-1)*t^(n-1)+(-1)^n *[t^n/(1+t)]

C) Démontrez que pour tout t dans [0; 1] :

f(t) = g2(t) -g3(t) + ... + (-1)^(n-1)*gn+1(t) + (-1)^n*[(gn+2)(t)/(1 + t)]
puis
que :
J=J2-J3+J4+...+(-1)^(n-1)*Jn+1+(-1)n {(de 0à1) (gn+2)/(1+t)dt.
)o 1 + t

d) En majorant [gn+2(t)]/1+t démontrez que :

0 < ou = {de 0à 1 [gn+2(t)[/(1+t) < ou = 1/ (n + 3)²


2. n est un entier, n > ou = 1 ; on note :

Sn= (1/3²)-(1/4²)+...+(-1)^n-1 *[1/(n+2)²]

a) Démontrez que lim lorsque n tend vers plus l'infini de Sn = J.

b) Démontrez que S8 < J < S9 .
c) Déduisez-en une valeur approchée de J à 5 x 10-3 près exprimée avec trois
décimales.


Merci d'avance
Caroline
jkimmel@noos.fr








Posted by: Michel

jk :

> Je me trouve face à des difficultés pour un exercice, ça fait
> déjà quelques jours que je réfléchis dessus... je ne demande pas
> de réponses toutes faites mais juste un peu d'aide pour me
> guider sur le bon chemin... merci d'avance

D'accord, mais est-ce que tu peux préciser les questions sur
lesquelles tu bloques ? toutes ne sont pas infaisables ?
Et précise ton niveau aussi.

Merci.

--
Michel [overdose@alussinan.org]



Posted by: jk

C'est à partir de l'étude de J que je bloque pour le 1), le reste en découle
ce qui est embêtant pour continuer la suite....





Posted by: Michel

jk :

> C'est à partir de l'étude de J que je bloque pour le 1), le
> reste en découle ce qui est embêtant pour continuer la suite....

Non, dans tes questions tu n'as qu'à vérifier les résultats, donc tu
peux tout à fait les réutiliser sans avoir à les redémontrer.

J'ai pas compris sur quelle question précisément portait ta question
par contre.

--
Michel [overdose@alussinan.org]



Posted by: JK

Merci













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