Partie A;
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]1; + infini[ par: f(x)= x/ ln(x).
1/ a) Déterminer les limites de la fonction f en 1 et en + infini.
b) Etudier les variations de la fonction f.
2/ Soit (u(n)) la suite définie par u0= 5 et u(n+1)= f(u(n)), pour tout entier naturel n.
a) On a tracé la courbe représentative C de la fonction f sur la figure donnée en annexe (ci-dessous):
Construire la droite d'équation y=x et les points M1 et M2 de la courbe C d'abscisses respectives u1 et u2.
Proposer une conjecture sur le comportement de la suite (u(n)).
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a u(n)>= e (on pourra utiliser la question 1/ b)).
c) Démontrer que la suite (u(n)) converge vers un réel l de l'intervalle [e; + infini[.
Partie B;
On rappelle que la fonction f est continue sur l'intervalle ]1; + infini[.
1/ En étudiant de deux manières la limite de la suite (f(u(n))), démontrer que: f(l)= l.
2/ En déduire la valeur de l.
Pour la 1/ a), j'ai trouvé que
lim f(x)= + infini.
x->1
lim f(x) en + infini= Forme Indéteminée, de la forme "+ infini/ + infini" mais, je n'arrive pas, à la 'transformer', pour déterminer la limite.
Je vous remercie pour l'aide que vous voudriez bien m'apporter, sachant que toute aide est la bienvenue.