Mathématiques - Suites ("extraites")

Suites ("extraites")
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Posted by: XitY

Bonsoir,

On considère la suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}} = (-1)^n sin(n \frac{\pi}{4})$ .

Comment montrer si la suite $(U_n)$ est bornée ou non, sachant que j'ai déjà calculé plusieurs suites extraites de $(U_n)$ ?
A savoir:
$(U_{2n}) = 0,1,0,-1,0,...$
$(U_{2n+1}) = - \frac{\sqrt{2}}{2},- \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{ 2}}{2},- \frac{\sqrt{2}}{2},...$
$(U_{4n}) = 0$
$(U_{4n+3}) = - \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},- \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},...$

De plus, l'une des suites extraites ci-dessus illustre-t-elle la propriété de Bolzano-Weierstrass (qui dit que toute suite bornée admet au moins une valeur d'adhérence)?

Merci d'avance, et bonne soirée à tous.

Posted by: Galt

Bonsoir
Dans la mesure où $|u_n|=|\sin n\frac {\pi}4| \leq 1$ , il me semble clair qu'elle est bornée ...
Et comme $u_{4n}=0$ , 0 est une valeur d'adhérence.

Posted by: Non inscrit

Merci de la réponse, mais pourquoi peut-on dire que: comme $u_{4n}=0$ , 0 est une valeur d'adhérence?

Posted by: Galt

Ben parce que 0 est la limite d'une suite extraite

Posted by: Non inscrit

ok...! et si une autre des suites extraites avait adopté une autre limite...?

Posted by: Galt

Ben il y aurait d'autres valeurs d'adhérence. Les valeurs d'adhérence ne sont pas forcément uniques. Par exemple, la suite définie par $u_n=\cos n$ admet [-1 ; 1] comme valeurs d'adhérence (même si ce n'est pas évident à prouver)

Posted by: Non inscrit

ok! Merci bien à toi Galt ! Bonne soirée.