Supposons que (u_2n )et (u_2n+1) convergent vers la meme limite,
peut-on déduire que (u_n) converge sans revenir à
la définition de la limite ?
Merci d'avance,
Z.
Posted by: thn
"Zorglub" <spam-mi-et-spam-moi@bateau.com> a écrit dans le message de
news:402ba3d8$0$28123$636a15ce@news.free.fr...
> Hello,
>
> Supposons que (u_2n )et (u_2n+1) convergent vers la meme limite,
> peut-on déduire que (u_n) converge sans revenir à
> la définition de la limite ?
oui car a partir de 2n et 2n+1 on a tous les entiers...
Posted by: Michel
Zorglub :
> Supposons que (u_2n )et (u_2n+1) convergent vers la meme limite,
> peut-on déduire que (u_n) converge sans revenir à
> la définition de la limite ?
Avec la définition c'est immédiat, je ne vois pas pourquoi on s'en
passerait... :)
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Posted by: Zorglub
"Michel" <overdose@alussinan.org> a écrit dans le message de
news:XnF948DAE94C6FBDmichel@193.252.19.141...
> Zorglub :
>
> > Supposons que (u_2n )et (u_2n+1) convergent vers la meme limite,
> > peut-on déduire que (u_n) converge sans revenir à
> > la définition de la limite ?
>
> Avec la définition c'est immédiat, je ne vois pas pourquoi on s'en
> passerait... :)
>
Parceque par exemple, en terminale on ne connait pas la définition !
Posted by: Zorglub
"thn" <thngn**@hotmail.com> a écrit dans le message de
news:dANWb.201402$AU2.143769@news.chello.at...
> "Zorglub" <spam-mi-et-spam-moi@bateau.com> a écrit dans le message de
> news:402ba3d8$0$28123$636a15ce@news.free.fr...
> > Hello,
> >
> > Supposons que (u_2n )et (u_2n+1) convergent vers la meme limite,
> > peut-on déduire que (u_n) converge sans revenir à
> > la définition de la limite ?
>
> oui car a partir de 2n et 2n+1 on a tous les entiers...
>
ok, c'est pour ça que ça marche, mais ça me semble
un peu faible comme argument non ?
Posted by: Maxi
> > Avec la définition c'est immédiat, je ne vois pas pourquoi on s'en
> > passerait... :)
> >
>
> Parceque par exemple, en terminale on ne connait pas la définition !
Sans définition on va avoir du mal à prouver des choses!
--
Maxi
Posted by: Zorglub
"Maxi" <aries-mu-de-cheval@narod.ru> a écrit dans le message de
news:402bad77$0$28272$636a15ce@news.free.fr...
> > > Avec la définition c'est immédiat, je ne vois pas pourquoi on s'en
> > > passerait... :)
> > >
> >
> > Parceque par exemple, en terminale on ne connait pas la définition !
>
> Sans définition on va avoir du mal à prouver des choses!
>
Pas forcément, il suffit d'avoir quelques théorèmes admis.
Posted by: Frederic
On Thu, 12 Feb 2004 17:33:53 +0100, Zorglub wrote:
>
>"thn" <thngn**@hotmail.com> a écrit dans le message de
>news:dANWb.201402$AU2.143769@news.chello.at...
>> "Zorglub" <spam-mi-et-spam-moi@bateau.com> a écrit dans le message de
>> news:402ba3d8$0$28123$636a15ce@news.free.fr...
>> > Hello,
>> >
>> > Supposons que (u_2n )et (u_2n+1) convergent vers la meme limite,
>> > peut-on déduire que (u_n) converge sans revenir à
>> > la définition de la limite ?
>>
>> oui car a partir de 2n et 2n+1 on a tous les entiers...
>>
>ok, c'est pour ça que ça marche, mais ça me semble
>un peu faible comme argument non ?
Ah non ce n'est pas pour cela que ça marche, c'est parce que
la partition est finie. Sinon, je considère la suite
S_0 = 1, 2, 4, 8, 16, ...
S_1 = 3, 5, 9, 17, ...
S_2 = 6, 10, 18, ...
(Chaque suite se déduit de la précédente en ajoutant 1 à ses termes
mais sans jamais répéter un nombre qui aurait été inclus dans une
suite précédente). Alors S_0, ..., S_n forment une partition de N^*.
Si on considère la suite u_n qui vaudrait 1/k au rang n, tel que
l'entier n apparaît à la k-ième position dans la seule suite S_i
où il apparaît, eh bien on peut partitionner cette suite
en suites extraites qui admettent toutes 0 pour limite (on extrait
selon les S_i) mais la suite extraite selon S_0(1), S_1(1), S_2(1)...
(i.e. 1, 3, 6, 7, 12, ...) admet 1 comme limite.
Posted by: Julien Santini
> > Sans définition on va avoir du mal à prouver des choses!
> >
>
> Pas forcément, il suffit d'avoir quelques théorèmes admis.
>
Qu'est-ce que c'est que cette histoire: on veut montrer la convergence d'une
suite, mais on ne connait pas la définition de convergence ? ça sert à rien
alors ...
Une suite (u_n) de réels converge vers l réel <=> Pour tout e>0, il existe N
entier naturel, pour tout n>=N, abs(u_n - l)<=e.
Maintenant à toi de jouer (c'est pas très dur).
--
JS
Posted by: Michel
Zorglub :
> Parceque par exemple, en terminale on ne connait pas la
> définition !
Il y a bien une définition donnée en première et terminale, avec une
histoire d'intervalles qui contiennent tous les termes à partir d'un
certain rang.
Ce n'est que le truc avec pleins de quantificateurs traduite en
français... :)
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Posted by: Jules
"Julien Santini" <santini.julien@wanadoo.fr> a écrit dans le message de
news: c0gekq$qh9$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> > > Sans définition on va avoir du mal à prouver des choses!
> > >
> >
> > Pas forcément, il suffit d'avoir quelques théorèmes admis.
> >
>
> Qu'est-ce que c'est que cette histoire: on veut montrer la convergence
d'une
> suite, mais on ne connait pas la définition de convergence ? ça sert à
rien
> alors ...
>
Personnellement, qd j'étais en terminale, je n'avais jamais eu de définition
rigoureuse d'une limite, néanmoins ça ne m'empechait pas de calculer des
limites
en utilisant quelques limites connues et différents théoremes.
Mais bon, là n'est pas le problème.
> Une suite (u_n) de réels converge vers l réel <=> Pour tout e>0, il existe
N
> entier naturel, pour tout n>=N, abs(u_n - l)<=e.
>
Je sais le faire... je me demandais juste s'il était possible de le
justifier autrement
qu'en se ramenant à la définition c'est tout !
Posted by: Nicolas Richard
Jules a écrit :
> Je sais le faire... je me demandais juste s'il était possible de le
> justifier autrement
> qu'en se ramenant à la définition c'est tout !
Théorème: Si u_(2n) et u_(2n+1) convergent vers un même nombre, alors
u_n converge vers ce nombre.
Ta propriété se démontre en utilisant ce théorème :-)
Soyons sérieux: quels théorèmes as tu à disposition? Et pourquoi vouloir
démontrer quelque chose (càd se compliquer la vie) alors que de toute
façon c'est pour se baser sur presque rien ?
Voilà, deux questions qui me turlupinaient...
--
Nico.
Posted by: Rodolphe
Zorglub a écrit :
> Hello,
>
> Supposons que (u_2n )et (u_2n+1) convergent vers la meme limite,
> peut-on déduire que (u_n) converge sans revenir à
> la définition de la limite ?
>
> Merci d'avance,
> Z.
>
>
u_2n converge vers une limite l donc:
pour tout epsilon, il existe un N0 tel que pour tout n >= N0 on a |u_2n
-l|<epsilon
u_(2n+1) converge vers une limite l donc:
pour tout epsilon, il existe un N1 tel que pour tout n >= N0 on a
|u_(2n+1) -l|<epsilon
On fixe les deux espilon egale à un espilon_0 fixé
Soit N=max(N0,N1) alors on a :
- pour tout n >= N on a |u_2n - l|<epsilon_0 (car N est supérieur ou
égale à N0)
- pour tout n >= N on a |u_(2n+1) - l|<epsilon_0 (car N est supérieur ou
égale à N1)
Au final pour tout n >= 2N on a |u_n - l|<epsilon_0 donc u_n converge vers l