Suite à 2 valeurs initiales

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Posted by: Phil

Bonjour,
Voici mon problème: j'ai une suite définie par:
a1= 0
a2=1
an= (n-1)(an-1+an-2)

Il semble que le terme général de la suite soit

an=n!(1/2-1/3!...+(-1)^n/n!) ce qui donne an/n! = exp(-1) quand n tend vers l'infini

Mais je n'en suis pas encore convaincu. Pouvez vous me le démontrer?
(je n'ai pas encore essayé le raisonnement par récurrence...)

Cordialement
Phil


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Phil
Bonjour,
Voici mon problème: j'ai une suite définie par:
a1= 0
a2=1
an= (n-1)(an-1+an-2)

Il semble que le terme général de la suite soit

an=n!(1/2-1/3!...+(-1)^n/n!) ce qui donne an/n! = exp(-1) quand n tend vers l'infini

Mais je n'en suis pas encore convaincu. Pouvez vous me le démontrer?
(je n'ai pas encore essayé le raisonnement par récurrence...)

Cordialement
Phil


Ben essaie d'abord ! Il faut quand même essayer !


Posted by: Phil

Citation:
Posté par Chimerade
Ben essaie d'abord ! Il faut quand même essayer !

Bonjour,

Ce n'est pas ce genre de réponse que j'attendais, je demandais votre point de vue, c'est tout!
Pour information, j'ai résolu ce problème par récurrence de tête, dimanche vers 5 heures du matin.
J'en donnerais donc la solution dès que j'aurai un peu plus de temps pour l'écrire...

Cordialement

Phil


Posted by: phenomene

Bonjour, la propriété que tu conjectures est vraie, et se démontre en effet par récurrence, ce que je te laisse le soin d'essayer de rédiger seul.

Citation:
Posté par Phil
an=n!(1/2-1/3!...+(-1)^n/n!) ce qui donne an/n! = exp(-1) quand n tend vers l'infini


C'est très mal dit, le signe "=" s'emploie pour désigner une égalité, c'est-à-dire une identité exacte entre deux termes. Ici, \frac{a_n}{n!} et \exp(-1) ne seront jamais égaux, quelle que soit la valeur de l'entier n (car \frac{a_n}{n!} est rationnel et \exp(-1) ne l'est pas).
Il est correct de dire par contre que la limite de \frac{a_n}{n!} est \exp(-1), ou encore que \frac{a_n}{n!} tend vers \exp(-1) lorsque n tend vers l'infini.


Posted by: Phil

Citation:
Posté par phenomene
Bonjour, la propriété que tu conjectures est vraie, et se démontre en effet par récurrence, ce que je te laisse le soin d'essayer de rédiger seul.
Bonjour,

C'est très mal dit, le signe "=" s'emploie pour désigner une égalité, c'est-à-dire une identité exacte entre deux termes. Ici, \frac{a_n}{n!} et \exp(-1) ne seront jamais égaux, quelle que soit la valeur de l'entier n (car \frac{a_n}{n!} est rationnel et \exp(-1) ne l'est pas).
Il est correct de dire par contre que la limite de \frac{a_n}{n!} est \exp(-1), ou encore que \frac{a_n}{n!} tend vers \exp(-1) lorsque n tend vers l'infini.


Bonjour,

Il est plus qu'évident que je voulais parler de la limite et que je n'écrirais pas ceci de la même façon sur une copie, mais au niveau messagerie, on fait avec les moyens du bord (je n'ai pas eu le temps de regarder comment fonctionne l'éditeur de formules.. et j'avoue que c'est dommage)

Ceci, dit voici la démonstration par récurrence
pour a3, a4, a5, il est facile de vérifier la relation
Supposons la vraie jusqu'au rang n-1
an = (n-1) (an-1 + an-2)
an-2 = (n-2)! (1-1 + ... (-1)^(n-2)) par hypothèse de récurrence
an-1 = (n-1)!(1-1 + ....(-1)^n-2 + (-1)^(n-1) ) toujours par hypothèse
Il suffit de mettre en facteur le terme (n-2)! (1-1 + ... (-1)^(n-2)) et on obtient
an= (n-1)((n-2)! (1-1 + ... (-1)^(n-2)) (n-1+1) + (n-1)!(-1)^(n-1)/n-1)!)
soit après simplification:
an = n!(1-1 + ... (-1)^(n-2)) + (n-1) (-1)^n-1
an = n!(1-1 + ... (-1)^(n-2)) + n(-1)^(n-1) + (-1)^n
an = n!'(1-1 + ... (-1)^(n-2)) + n(-1)^(n-1)*(n-1)!/(n-1)! +(-1)^n*n!/n!
Reste plus qu'à mettre en facteur n!...
cqfd

Ce résultat est la "clé" d'un problème de "probabilité sur un ensemble fini" bien plus complet, que j'ai posé sur le "forum lycée" et où j'exposerai ma solution finale aujourd'hui ou demain. Je vous invite à consulter ce forum, si cela vous interesse.


Cordialement

Phil










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