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Posted by: Homer001

Pouvez vous m,aider avec ceci svp :

xn+1 = xn/(1+nxn)

x1 = 1

trouver x200 sans tous les faire.

Posted by: danskala

salut,

on peut démontrer tout d'abord que Xn est strictement positif pour tout n (par récurrence)

On a $3$ X_{n+1}=\frac{X_n}{1+nX_n}=\frac{1}{\frac{1}{X_n}+ n}$ (j'ai divisé numérateur et dénominateur par Xn qui est non nul)

Ensuite on a :
$3$ \frac{1}{X_{n+1}}=\frac{1}{X_n}+n$ (Xn et X(n+1) sont non nuls)

Soit maintenant la suite $U_n$ définie par $U_n=\frac{1}{X_n}$ pour $n\ge 1$

Il vient : $U_{n+1}=U_n+n$

On a
$U_2=U_1+1$
$U_3=U_2+2$
$U_4=U_3+3$
...
$U_n=U_{n-1}+(n-1)$

En additionnant "membre à membre", les termes de la suite $(U_n)$ se neutralisent 2 à 2 sauf $U_n$ et $U_1$ .
Il reste:
$U_n=U_1+1+2+3+...+(n-1)$

D'où:
$U_n=1+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{2+(n-1)n}{2}$

Finalement:
$X_n=\frac{2}{2+(n-1)n}$

@+