1) Mq x(n) converge ssi il existe m supérieur ou égal à 2 tel qu x(m)<1
j'ai facilement démontré cette équivalence la seconde question me pose un
problème
et j'aurais besoinde votre aide à ce sujet :
Mq si a=1 alors (x(n)) diverge
Merci de votre aide
Posted by: Gauss
"Gauss" <Gauss@wanadoo.fr> a écrit dans le message de news:
41717a06$0$27849$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonjour j'ai un probleme a vec une suite
>
> Voici la suite à etudier
>
> x(n+1) = exp(x(n))/(n+1) avec x(0)=a réel positif
>
> 1) Mq x(n) converge ssi il existe m supérieur ou égal à 2 tel qu x(m)<1
> j'ai facilement démontré cette équivalence la seconde question me pose un
> problème
> et j'aurais besoinde votre aide à ce sujet :
>
> Mq si a=1 alors (x(n)) diverge
>
> Merci de votre aide
je crois que je viens de trouver ceci dit une autre solution que la mienne
m'interesserait
n'hesitez pas à m'en proposer une
Posted by: masterbech
"Gauss" <Gauss@wanadoo.fr> a écrit dans le message de news:
41717ce3$0$8658$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "Gauss" <Gauss@wanadoo.fr> a écrit dans le message de news:
> 41717a06$0$27849$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> > Bonjour j'ai un probleme a vec une suite
> >
> > Voici la suite à etudier
> >
> > x(n+1) = exp(x(n))/(n+1) avec x(0)=a réel positif
> >
> > 1) Mq x(n) converge ssi il existe m supérieur ou égal à 2 tel qu x(m)<1
> > j'ai facilement démontré cette équivalence la seconde question me pose
un
> > problème
> > et j'aurais besoinde votre aide à ce sujet :
> >
> > Mq si a=1 alors (x(n)) diverge
Il est facile de vérifier que exp(x)>=(1+x)^2 pour x>=e
(f(x)=exp(x)-(1+x)^2, signe de f", place f'(e) donc le signe de f' donc les
variations de f et f(e)=...)
Puisque x(1)=e, tu montres par récurrence que x(n)>=e*n si n>=1
Pour l'hérédité, x(n)>=e*n>=e (car n>=1) alors
x(n+1)>=(1+x(n))^2/(n+1)>=(1+e*n)^2/(n+1)
Or (1+e*n)^2/(n+1)>=e(n+1)
<=>(1+e*n)^2>=e(n+1)^2
<=>1+2*e*n+e^2*n^2>=e+2e*n+e*n^2
<=>e(e-1)n^2>=e-1
<=>e*n^2>=1 qui est vrai car n>=1
par conséquent, x(n+1)>=e*(n+1)
La majoration obtenue par récurrence montre clairement que x(n)-->+oo
C'est toujours sympathique d'aider Karl Friedrich :=)
******************** www.mathematiques.fr.st
40 exos de sup et 20
exos de spé corrigés
supplémentaires
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Posted by: Gauss
merci de votre fréponse je voudrais vous communiquer la dernière question
dont la second partie me pose problème :
Mq il existe alfa réel tel que : a<alfa implique que x(n) converge vers 0
a>alfa implique que x(n) diverge vers plus l'inifini.
Que se passe-t-il pour a = alfa
POur la première partie j'utilise la propriété de la borne supérieure ce qui
acheve facilement la démonstration de l'exsitence de alfa et des propriétés
posés dans l'énoncé
en revanche pour le cas a =alfa je bute complètement.
Merci de votre aide
"masterbech" <masterbech@allusinan.org> a écrit dans le message de news:
4171ba06$0$29881$626a14ce@news.free.fr...
>
> "Gauss" <Gauss@wanadoo.fr> a écrit dans le message de news:
> 41717ce3$0$8658$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>>
>> "Gauss" <Gauss@wanadoo.fr> a écrit dans le message de news:
>> 41717a06$0$27849$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>> > Bonjour j'ai un probleme a vec une suite
>> >
>> > Voici la suite à etudier
>> >
>> > x(n+1) = exp(x(n))/(n+1) avec x(0)=a réel positif
>> >
>> > 1) Mq x(n) converge ssi il existe m supérieur ou égal à 2 tel qu x(m)<1
>> > j'ai facilement démontré cette équivalence la seconde question me pose
> un
>> > problème
>> > et j'aurais besoinde votre aide à ce sujet :
>> >
>> > Mq si a=1 alors (x(n)) diverge
>
> Il est facile de vérifier que exp(x)>=(1+x)^2 pour x>=e
> (f(x)=exp(x)-(1+x)^2, signe de f", place f'(e) donc le signe de f' donc
> les
> variations de f et f(e)=...)
>
> Puisque x(1)=e, tu montres par récurrence que x(n)>=e*n si n>=1
> Pour l'hérédité, x(n)>=e*n>=e (car n>=1) alors
> x(n+1)>=(1+x(n))^2/(n+1)>=(1+e*n)^2/(n+1)
> Or (1+e*n)^2/(n+1)>=e(n+1)
> <=>(1+e*n)^2>=e(n+1)^2
> <=>1+2*e*n+e^2*n^2>=e+2e*n+e*n^2
> <=>e(e-1)n^2>=e-1
> <=>e*n^2>=1 qui est vrai car n>=1
> par conséquent, x(n+1)>=e*(n+1)
>
> La majoration obtenue par récurrence montre clairement que x(n)-->+oo
>
> C'est toujours sympathique d'aider Karl Friedrich :=)
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>
Posted by: albert junior
masterbech a écrit:
> Il est facile de vérifier que exp(x)>=(1+x)^2 pour x>=e
> (f(x)=exp(x)-(1+x)^2, signe de f", place f'(e) donc le signe de f' donc les
> variations de f et f(e)=...)
>
> Puisque x(1)=e, tu montres par récurrence que x(n)>=e*n si n>=1
> Pour l'hérédité, x(n)>=e*n>=e (car n>=1) alors
> x(n+1)>=(1+x(n))^2/(n+1)>=(1+e*n)^2/(n+1)
> Or (1+e*n)^2/(n+1)>=e(n+1)
> <=>(1+e*n)^2>=e(n+1)^2
> <=>1+2*e*n+e^2*n^2>=e+2e*n+e*n^2
> <=>e(e-1)n^2>=e-1
> <=>e*n^2>=1 qui est vrai car n>=1
> par conséquent, x(n+1)>=e*(n+1)
>
> La majoration obtenue par récurrence montre clairement que x(n)-->+oo
Dans le même genre mais (un peu) plus court :
la fonction e^x/x diverge en +oo.
Il suffit donc de montrer que pour tout n, x(n)>=n pour conclure.
x(0) = 1 >=1
x(1) = e >= 1
soit x(n)>=n
en passant à l'exponentielle e^x(n)>=e^n
et x(n+1) >= e^n/n+1
il faut donc montrer que e^n/(n+1)>=(n+1)
ce qui est vrai dès que n>=2, d'où la conclusion.
> C'est toujours sympathique d'aider Karl Friedrich :=)
oui
--
albert
Posted by: masterbech
"Gauss" <Gauss@wanadoo.fr> a écrit dans le message de news:
41722a87$0$7211$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> merci de votre fréponse je voudrais vous communiquer la dernière question
> dont la second partie me pose problème :
> Mq il existe alfa réel tel que : a<alfa implique que x(n) converge vers 0
> a>alfa implique que x(n) diverge vers plus l'inifini.
> Que se passe-t-il pour a = alfa
>
> POur la première partie j'utilise la propriété de la borne supérieure ce
qui
> acheve facilement la démonstration de l'exsitence de alfa et des
propriétés
> posés dans l'énoncé
> en revanche pour le cas a =alfa je bute complètement.
Je ne comprend pas très bien ta question. Inutile d'invoquer les grands
Manitous. En effet, tu as montré que
Si a<1 alors par récurrence x(n)<1 pour tout n donc la 0<x(n+1)<1/(n+1) et
x(n)-->0
Si a= 1 alors x(n)-->+oo, on vient de le faire.
Si a>1. Notons x0(n) la suite correspondante à a=1 et x(n) la suite
correspondante à a>1
Une récurrence simple montre que pour tout n, x(n)>=x0(n)-->+oo donc
x(n)-->+oo
Conclusion : alpha=1 !
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Posted by: albert junior
masterbech a écrit:
> Je ne comprend pas très bien ta question. Inutile d'invoquer les grands
> Manitous. En effet, tu as montré que
>
> Si a<1 alors par récurrence x(n)<1 pour tout n donc la 0<x(n+1)<1/(n+1) et
> x(n)-->0
non..
soit alpha = 0,9
x(0) = 0,9
x(1) = 2,46
x(2) = 5,85
x(3) = 115,75
je m'arrête là
Pour achever la démonstration on a besoin de ce que x(m) avec m>=2 soit
inférieur ou égal à 1. Sinon on est pas prêt de conclure !
> Si a= 1 alors x(n)-->+oo, on vient de le faire.
> Si a>1. Notons x0(n) la suite correspondante à a=1 et x(n) la suite
> correspondante à a>1
> Une récurrence simple montre que pour tout n, x(n)>=x0(n)-->+oo donc
> x(n)-->+oo
>
> Conclusion : alpha=1 !
non
j'essaye de finir ma réponse avant de la poster.
--
albert
Posted by: albert junior
Gauss a écrit:
> merci de votre fréponse je voudrais vous communiquer la dernière question
> dont la second partie me pose problème :
> Mq il existe alfa réel tel que : a<alfa implique que x(n) converge vers 0
> a>alfa implique que x(n) diverge vers plus l'inifini.
> Que se passe-t-il pour a = alfa
>
> POur la première partie j'utilise la propriété de la borne supérieure ce qui
> acheve facilement la démonstration de l'exsitence de alfa et des propriétés
> posés dans l'énoncé
> en revanche pour le cas a =alfa je bute complètement.
> Merci de votre aide
Je vais proposer ma réponse ici comme ca vous me direz si vous êtes
d'accord ou non.
On introduit alpha_n = ln(1*ln(2*(ln(*3... ln((n-1)*ln(n))...))).
Il est facile de voir que c'est le x(0) tel que le nième terme de la
suite des x(n) est égal à 1.
Si on introduit alpha = lim(alpha_n,n->oo), on obtient une suite des
x(n) qui tend vers 1.
Or il est clair que si deux suites de x(n) ont un premier terme
distincts, alors pour tout n, x(n) != x(n). Il est également clair que
la valeur de x(n) pour n fixé est une fonction croissante de x(0).
Si x(0) < alpha, on note alpha_n < x(0) =< alpha_n+1 (< alpha). Cet
encadrement a un sens puisque alpha_n est une suite croissante (ok, ca
il faut le montrer :S ). On a alors x(n+1)=< 1, et la suite converge
vers 0. Donc alpha est le plus petit majorant de l'ensemble des x(0)
tels que x(n) converge vers 0.
Maintenant il faudrait montrer que c'est le plus grand minorant de
l'ensemble des x(0) tels que x(n) diverge.
Je laisse la main..
--
albert
Posted by: masterbech
> > Si a<1 alors par récurrence x(n)<1 pour tout n donc la 0<x(n+1)<1/(n+1)
et
> > x(n)-->0
>
> non..
> soit alpha = 0,9
> x(0) = 0,9
> x(1) = 2,46
> x(2) = 5,85
> x(3) = 115,75
Effectivement, ma première récurrence ne vaut pas mieux que la preuve que
tous les crayons d'une boite de crayons ont même couleur !
J'ai oublié que x(n)<1 alors exp(x(n))<e et e/(n+1) n'est plus petit que 1
ssi n>=2 ! (bye, bye l'hérédité)
Pour la peine, je vais récurrer ..................la vaiselle (je ferais
moins de bétises, ...j'espère !)
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