Suite récurrence

[The fifi]

Bonjour,
Voila je faisais un exercice sur les suite et récurrences mais j'ai quelques petits soucis pour continuer donc je m'adresse à vous pour que vous puissiez me venir en aide si possible.

1. k = 1 : u0= 0.25
u(n+1)= un (1-un)

a. Prouver que la suite ( u n ) n Œ N est décroissante.
b. En déduire qu’elle est convergente vers un réel noté l.
c. Prouver que la suite ( u n ) n ΠN converge vers 0.

2. k = 2 :
u0= 0.25
u (n+1) = 2un (1 - un)

a. Montrer par récurrence que u n = 1/2 - 1/2 (1/2)^2^n
b. En déduire que la suite ( u n ) n Œ N est convergente et déterminer sa limite, en détaillant avec soin le raisonnement.


3. On étudie la suite ( u n ) n Œ N lorsque 4/3 u0= 0.25
u (n+1) = k un (1-un)

a. Prouver que, n ŒN, 0 b. Etudier le sens de variation de la suite ( u n ) n Œ N , pour tout k Œ[ ; 2 ].
c. En déduire que la suite ( u n ) n Œ N est convergente vers un réel l que l’on exprimera en fonction de k.
d. Quelle est la particularité de la suite ( u n ) n Œ N lorsque k = 4/3? justifier


Réponses:
1. a) suite décroissante : u(n+1) < ou égal à un ainsi u(n+1) -un < ou égal à 0 d'ou un(1-un) - un < ou égal 0
un - (un)^2 - un < ou égal à 0 donc - (un)^2 < ou égal à 0
on peut donc conclure que la suiet un est décroissante.

b. convergente vers l
d'aprés le tableau de variation f (un) = u(n+1) est décroissante entre k/4 et 0 donc minorée par 0. or d'aprés le théorème une suite décroissante et minorée est dite convergente donc la suite converge vers un réel qu'on notera l .

c. convergente vers 0 : puisque la suiet est décroissante et minorée par o et qu'elle est donc convergente donc on peut en conclure que la suite est convergente vers 0.
Voila pour l'exercice 1 pourriez vous me dire ce qui ne va pas pour cet exercice totu d'abord. Merci d'avance

[Huppasacee]

Bonsoir


1. a) suite décroissante : u(n+1) < ou égal à un ainsi u(n+1) -un < ou égal à 0 d'ou un(1-un) - un < ou égal 0
un - (un)^2 - un < ou égal à 0 donc - (un)^2 < ou égal à 0
on peut donc conclure que la suiet un est décroissante.


Es tu sûr de la suite logique de ton raisonnement ?

Les "donc" partent de ce que tu dois démontrer , alors que ce devrait être le contraire :

Calculons Un+1 - Un
Nous trouvons que Un+1 - Un est négatif, car ...., donc ...

[The fifi]

Bonsoir,
1. a) suite décroissante : - (un)^2 < ou égal à 0 , est donc négatif cela veut donc dire que Un>ou égal à u(n+1) donc cela montre que la suite un est décroissante.
C'est plus clair comme raisonnement?

[Huppasacee]

C'est meilleur et plus logique comme raisonnement

[The fifi]

merci :) et pour le reste faut encore que je revois ?!

[Huppasacee]

c. convergente vers 0 : puisque la suiet est décroissante et minorée par o et qu'elle est donc convergente donc on peut en conclure que la suite est convergente vers 0.
Voila pour l'exercice 1 pourriez vous me dire ce qui ne va pas pour cet exercice totu d'abord. Merci d'avance

Ce n'est pas suffisant pour montrer que la limite est 0

[The fifi]

Et bien grâce au tableau de variation on voit que le minimum c'est 0 donc elle est minorée par 0 mais je vois pas comment on peut expliquer plus en détail que la suite converge vers 0. :s

[Huppasacee]

Suppose que la limite soit l non nul

Un est décroissante et minorée par l

Donc Un>l quel que soit n
1-Un
La limite est l donc il existe A tel que n > A entraîne
l< Un < l/(1-l)
Or 1-Un< 1-l
Un+1 < (1-l)*l/(1-l)
Un+1contradiction donc l ne peut pas être strictement >0

[The fifi]

lim U(n+1) = l
U(n+1) = Un (1- Un)
donc lim Un (1-Un) = l d'ou lim U(n+1) = lim Un = l
réel l : l = l(1-l) <=> l = l- l² <=> l²= 0 donc 2 solutions racine l ou - racine l

Réponses pour l'exercice 2. :
a. on pose P(n) = un = 1/2 - 1/2 (1/2)^2^n
P(o) vraie ? u0 = 1/2 - 1/2 (1/2) ^2^0 = 1/2 -1/4 = 1/4 = 0.25 donc P(o) vraie !
On suppose P(n) vraie soit un = 1/2 - 1/2 ( 1/2) ^2^n
On veut P(n+1) vraie : u (n+1) = 1/2 -1/2 ( 1/2)^2^(n+1)
On a u(n+1) = 2 un (1-un) or un = 1/2 - 1/2 (1/2)^2^n
ainsi u(n+1) = 2 ( 1/2 -1/2 (1/2)^2^n) (1- (1/2 - 1/2 (1/2)^2^n))
on pose 2^n = N
u(n+1) = [1 -(1/2)^N][1/2 + 1/2 (1/2)^N]
= 1/2 - 1/2 (1/2)^N + 1/2 (1/2)^N - 1/2 (1/2)^N (1/2)^N
= 1/2 - 1/2 (1/2)^2N
or 2N= 2 x 2^n = 2^(n+1)
On peut conclure P(n+1) vraie !!

b. (1/2) ^n -> 0 quand n-> + infini donc un = 1/2
ainsi la suite un est convergente et sa limite est 1/2