Suite et récurrence

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totomath80
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suite et récurrence

par totomath80 » 18 Sep 2010, 13:13

Bonjour, j'ai une feuille d'exercices à faire, tous les exercices ont été traité à part celui-ci qui me pose des problèmes, merci de m'aider.

(Un) est une suite définie par U0= a et, pour tout entier n;)0, la relation de récurrence :
[R] Un+1= 1/2Un+ n² + n.
1. Déterminez un polynôme du second degré P(x) de façon que la suite (a_n) où a_n = P(n) vérifie la relation [R].
On pourra admettre pour la suite de l’exercice le résultat : P(x) = 2x²-6x+8
2. Démontrer que la suite (v_n) de terme général v_(n= ) u_n - a_n est une suite géométrique de raison 1/2.
3. Exprimer v_(n ) puis u_n en fonction de n et de a.



nodjim
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par nodjim » 18 Sep 2010, 13:38

Tu n'arrives pas à démarrer ?

totomath80
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par totomath80 » 18 Sep 2010, 13:53

Oui je n'arrive pas traiter la première question. Pourriez-vous la traiter en me l'expliquant svp. Merci

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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 18 Sep 2010, 13:58

tu cherches un P(n)=an²+bn+c
Tu remplaces dans Un+1= 1/2Un+ n² + n et tu identifies les termes de n², n et constant à droite et à gauche, ça te fait 3 équations à 3 inconnues a,b,c assez faciles à résoudre

totomath80
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par totomath80 » 18 Sep 2010, 14:00

Oui je vois ce que vous voulez dire mais je n'arrive pas à determiner le polynome.

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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 18 Sep 2010, 14:05

Un+1= 1/2Un+ n² + n s'écrit
a(n+1)²+b(n+1)+c = (an²+bn+c)/2 + n² + n

tu développes, tu ordonnes tout ça, et tu dis que le coef de n² est le même à droite et à gauche (idem pour le coef de n et le terme constant)

A toi de calculer un peu !!

totomath80
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par totomath80 » 18 Sep 2010, 14:13

J'ai calculé et ordonné, par contre dois-je mettre le membre de gauhe sur le même dénominateur que celui de droite?

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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 18 Sep 2010, 14:21

simplement identifier les coef, tu peux réduire au même dénominateur ou pas.
par exemple le coef de n² à gauche c'est a et à droite c'est a/2+1
donc a=a/2+1 etc ...

totomath80
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par totomath80 » 18 Sep 2010, 14:30

J'ai trouvé:
an²+2n+1+bn+b+c = an²+bn+c/2+n²+n

Comment faire pour trouver le polynome maintenant que j'ai cette égalité?

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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 18 Sep 2010, 14:38

tu ne lis pas bien les post :bad:
D'abord ton expression an²+2n+1+bn+b+c = an²+bn+c/2+n²+n n'est pas bonne
a(n+1)²=an²+2an+a, il te manque des a
et puis à droite n'oublies pas les parenthèses (an²+bn+c)/2+n²+n

j'ai dit : les coefficients des termes de n²,n et constant doivent être égaux
(car l'expression doit être vraie pour tout n et quand deux polynômes sont égaux pour toute valeurs alors ils ont même coefficients)
Donc
a=a/2+1
2a+b=b/2+1
a+b+c=c/2

totomath80
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par totomath80 » 18 Sep 2010, 14:47

Oui d'accord j'ai compris mes erreurs. Maintenant que vous m'avez donné les expressions de a, 2a+b et a+b+c, comment faire pour trouver un polynome du second degré P(x) de façon que la suite (a_n) où a(_n= P(n) vérifie la relation [R]

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par Ericovitchi » 18 Sep 2010, 14:52

tu résous ce système
a=a/2+1
2a+b=b/2+1
a+b+c=c/2

ce qui va te donner a,b,c et tu auras donc ton polynôme

totomath80
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par totomath80 » 18 Sep 2010, 15:07

Je trouve: a=a
b= (3/2)-a
c= (-1/2)a

Qu'en pensez-vous?

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par Ericovitchi » 18 Sep 2010, 15:09

Avec a=a/2+1 tu trouves a=a !! révises tes résolutions d'une équation à une inconnue

totomath80
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par totomath80 » 18 Sep 2010, 15:16

Eh bien expliquez moi, nous sommes sur math-forum. Un comportement pédagogique est attendu non?

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par Ericovitchi » 18 Sep 2010, 16:05

a=a/2+1
tu fais passer le a/2 de l'autre coté
tu réduis au même dénominateur
tu simplifies
etc... jusqu'à ce que tu trouves a= ....

totomath80
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par totomath80 » 18 Sep 2010, 16:21

ok j'essaye de faire ça et je vous donne mes résultats =)

totomath80
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par totomath80 » 18 Sep 2010, 16:31

je trouve que a=2/3 et b=-2/3. est-ce ça pour a et b?

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par Ericovitchi » 18 Sep 2010, 16:34

Non
a=a/2+1 --> a-a/2=1 --> a/2=1 --> a=2

Dis donc , il faut que tu révises sérieusement la façon de manipuler les équations algébriques.

totomath80
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par totomath80 » 18 Sep 2010, 16:35

Pourquoi passe-t-on de a-a/2=1 à a/2=1?
Ou est donc passé le premier a?

 

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