Suite et racines

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Posted by: Aspx

Bonjour!

Le problème posé est le suivant. Etudier la suite définie par
3$ U_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{...+\sqrt{n}}}}

J'ai montré qu'elle était croissante.
Une idée pour continuer ?


Posted by: yos

Elle est majorée par 2. J'ai fait ça un peu laborieusement, mais ça marche.


Posted by: xyz1975

Bonjour,
Calculez u^2_{n+1} puis montrez que u^2_{n+1}\leq 1+u_n sqrt{2}


Posted by: Aspx

Ca semble assez laborieux comme tu dis ! Puis après avoir montré qu'elle convergeait il faut encore savoir vers quoi...


Posted by: xyz1975

Montrer d'abord qu'elle est croissante (je suppose que vous l'avez fait) ensuite il suffit de montrer qu'elle est majorée par 2 (avec l'inégalité que j'ai citée), elle converge vers quoi? ça nous regarde pas.


Posted by: Jédusor

Bonsoir, J avais affirmé qu elle converge vers (sqrt{5}+2)/2} est ce vrai ?
Edit: est ce qu elle ne converge pas vers phi ?


Posted by: Aspx

En effet l'exo (posé à l'X) demandait seulement l'étude de la convergence. Merci pour l'idée en tout cas ! (On obtient même avec cette inégalité que la limite est inférieure à 3$ \displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} rien de très réjouissant).


Posted by: Jédusor

Citation:
Posté par Aspx
En effet l'exo (posé à l'X) demandait seulement l'étude de la convergence. Merci pour l'idée en tout cas ! (On obtient même avec cette inégalité que la limite est inférieure à 3$ \displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} rien de très réjouissant).



\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}<0

Tu ne te serais pas trompé en recopiant


Posted by: yos

J'arrive à u_{n+1}-u_n\leq\frac{\sqrt{n+1}}{2^n\sqrt{n!}} et j'en déduis |u_n-\ell|\leq\frac{1}{\sqrt{n!}} donc u_{15}\simeq \ell à 10^{-6} près et du coup \ell\simeq 1,757932.


Posted by: Aspx

\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} en effet !
L'hypothèse de la limite = Phi est plausible vu les valeurs numériques. Simple conjecture ou ?


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Aspx
Une idée pour continuer ?


3$ V_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{...+\sqrt{n-1 + \sqrt{2n}}}}}

Il est très facile de montrer que Vn est décroissante (bon, pour n > 2) et que Un < Vn. Conclusion : Un et Vn sont convergentes


Posted by: Jédusor

Citation:
Posté par Aspx
\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} en effet !
L'hypothèse de la limite = Phi est plausible vu les valeurs numériques. Simple conjecture ou ?


Il est ptetre possible de montrer que U_n est equivalent a \sqrt{1+\sqrt{1+...\sqrt{1}}}
Et on sait que ceci converge vers phi


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Jédusor
Il est ptetre possible de montrer que U_n est equivalent a \sqrt{1+\sqrt{1+...\sqrt{1}}}
Et on sait que ceci converge vers phi


Douteux vu que u(2) est plus grand que \sqrt{1+\sqrt{1+...\sqrt{1}}} et que u(n) est croissante.


Posted by: Jédusor

Citation:
Posté par ThSQ
Douteux vu que u(2) est plus grand que \sqrt{1+\sqrt{1+...\sqrt{1}}} et que u(n) est croissante.


Pas si sur!
(U(2)=1.553773974)<(\sqrt{1+\sqrt{1+...\sqrt{1}}}=1.618033989)

Et si a partir d un certain rang n U_n>phi, On gagne quand meme l encadrement phi<=L<=[TEX](1+\sqrt{3})/\sqrt{2})[\TEX]<=2










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