Mathématiques - Suite de racine d'un polynome dérivé ! hihi

Suite de racine d'un polynome dérivé ! hihi
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Posted by: foxto

Soit le polynome P(n) de X de degré n+1, de racines 0, 1,2,...,n
MOntrer kil existe une unique racine r(n) du polynome dérivé entre 0 et 1 et que la suite des r(n) converge vers 0.
Voici une énigme ki m'a couté un certain nombre de nuit , je nen puis plus Venez moi en aide , j'ai teriblement besoin de dormir ! MErci A les math ca nous rendra dingues

Posted by: tize

Pour l'existence, c'est facil, il suffit d'appliquer Rolle.
Le fait que r(n)->0 ...? je vais chercher...

Posted by: Alexandre_de_Prepanet

C'est dommage de ne plus en dormir, surtout si tu es en prépa ! garde des forces pour la suite, sans te focaliser sur un unique exo !

Pour t'aider, c'est UNIQUEMENT le théorème de Rolle :

P(0)=0=P(1) donc il existe c dans ]0;1[ tel que P'(c)=0 par Rolle, d'où l'existence.

L'unicité c'est encore Rolle : si tu suppose P'(c1)=P'(c2) alors il existe c3 dans ]0;1[ tel que P''(c3)=0 donc P'(c3)=0 ; et par récurrence, P admet une infinité de racine (contradiction avec deg(P')=n )

Posted by: tize

J'ai oublié, on a aussi l'unicité puisqu'en appliquant Rolle entre $[i;i+1]\; 0\leq i\leq n-1$ , on trouve exactement $n$ racines pour $P'$ , chaque intervalle de la forme $[i;i+1]$ en contient une et une seule et $n$ racines c'est le maximum pour $P'$ .
Il y a donc existence et unicité, reste à prouver que $r(n)\rightarrow 0$ .

Posted by: foxto

OUi oui javé trouver le truc de Rolle et pour l'unicité dcette racine g travaillé avec le nombre de racine et le degré du polynome . Ca ca me semble ok
Mais la tache est je pense de prouver la décroissance de r(n) dans un premier temps
Peut etre cette nuit méclaireras tel !
Ptite remarque à Alexandre , tu c jpense ki fo un peu dpassion dans ce monde si "mécanisé" dla prépa... Les exo a la chaine pfff NON A LINDUSTRIE MATHEMATIQUE
Merci de ton aide

Posted by: tize

Je crois avoir trouvé !
On peut poser $P(X)=\prod_{k=0}^{n}(X-k)$ à une constante près...
on a alors :
$3$P'(X)=\sum\limits_{k=0}^{n}\prod\limits_{i\neq k}(X-i)$ .
J'appelle $3$r_n$ la racine de $P'$ contenue dans [0;1]. On a :
$3$P'(r_n)=\sum\limits_{k=0}^{n}\prod\limits_{i\neq k}(r_n-i)=0$ d'ou :
$3$(r_n-1)...(r_n-n)+\sum\limits_{k=1}^{n}\prod\limits_{i\neq k}(r_n-i)=0$ ou encore :
$3$r_n\times\sum\limits_{k=1}^{n}\prod\limits_{i \neq k;i\neq 0}(r_n-i)=-(r_n-1)...(r_n-n)$ et en divisant par $(r_n-1)...(r_n-n)$ et par $r_n$ :

$3$\frac{1}{r_n}=-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{r_n-k}>0$ le dernier terme étant divergent (serie riemann harmonique) on a nécessairement $r_n\rightarrow 0$

Qu'en pensez-vous ? Il y a une erreur dans mon raisonnement ?

Posted by: foxto

Bien jouer !
Jy été preske kan tu la envoyer
Javer kla somme des 0 a n des 1/k - r(n) était égale a 0
Ce ki correspond effectivement a ta derniere ligne.
Mais subsiste pour moi un flou sur la conclusion avec la divergence etc... (jsui pas encore averti en série milles excuses !)
Chapeau l'ami !

Posted by: tize

Une démonstration de la divergence de la série $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ est proposée ici
une fois que l'on sait cela il suffit de remarquer que : $\frac{1}{k-r_n} > \frac{1}{k}$ d'ou la divergence de $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k-r_n}$
En espérant t'avoir aidé