Suite des noyaux itérés

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Posted by: Aspx

Bonjour!

Voilà l'exo classique sur lequel je me prend actuellement la tête.
Soit A\in\mathfrak{M}_4(\mathbb{R}). Montrer que A^4 et A^5 ont même rang.

J'aimerais pour cela utiliser le résultat sur les noyaux itérés d'un endomorphisme (croissants pour l'inclusion et constant a.p.d.c.r) seulement je n'arrive pas à comprendre pourquoi on aurait ker(a^4)=ker(a^5) (résultat qui semble à priori provenir de la dimension de \mathfrak{M}_4(\mathbb{R})...


Posted by: yos

Regarde la suite des noyaux de A, A^2, A^3, A^4.
Que dire si elle est strictement croissante?
Que dire dans l'autre cas?


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Aspx
Bonjour!

Voilà l'exo classique sur lequel je me prend actuellement la tête.
Soit A\in\mathfrak{M}_4(\mathbb{R}). Montrer que A^4 et A^5 ont même rang.

J'aimerais pour cela utiliser le résultat sur les noyaux itérés d'un endomorphisme (croissants pour l'inclusion et constant a.p.d.c.r) seulement je n'arrive pas à comprendre pourquoi on aurait ker(a^4)=ker(a^5) (résultat qui semble à priori provenir de la dimension de \mathfrak{M}_4(\mathbb{R})...


Suffit de savoir compter jusqu'à 5 ....


Posted by: Aspx

On sait déjà que les noyaux vérifient
\ker a \subset \ker a^2 \subset \ker a^3 \subset \ker a^4

Si la croissance est stricte, on a forcément

\dim \ker a < \dim \ker a^2 < \dim \ker a^3 < \dim \ker a^4

donc 0<1<2<3 ou 1<2<3<4. Ensuite on obtient deux contradiction et la conclusion puisque l'égalité des noyaux se transmet à \ker a^5. C'est correct ?


Posted by: yos

Citation:
Posté par Aspx
0<1<2<3 ou 1<2<3<4.

J'avais même pas envisagé le premier cas (il est impossible car si le premier noyau est trivial, a est un isomorphisme et ses puissances aussi)
Le seul cas est "1<2<3<4" qui conduit à a^4 nul donc a^5 nul aussi.
Maintenant que dire si la suite est pas strictement croissante?


Posted by: Aspx

Si elle n'est pas strictement croissante on a
\displaystyle \exists k \in [1,...,4] \; / \; \ker a^k = \ker a^{k+1}

Mais alors
\displaystyle \forall p\geq k \; , \; \ker a^{p+1} = \overset{-1}{a^{p-k}}\ker a^{k+1} = \overset{-1}{a^{p-k}}\ker a^{k} = \ker a^{p}

En particulier on a \ker a^4 = \ker a^5

Donc vu le théorème du rang
rgA^4=rgA^5



Posted by: yos

C'est \exists k\in\{1,2,3\} que ker a^k=ker a^{k+1}.
Ensuite tu as Im a^k=Im a^{k+1} et tu composes par a^{4-k} de chaque côté. Je trouve que c'est mieux qu'avec les images réciproques, mais bon...


Posted by: Aspx

Citation:
Posté par yos
C'est \exists k\in\{1,2,3\} que ker a^k=ker a^{k+1}.
Ensuite tu as Im a^k=Im a^{k+1} et tu composes par a^{4-k} de chaque côté. Je trouve que c'est mieux qu'avec les images réciproques, mais bon...

Entièrement d'accord ! Je te remercie pour ton aide










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