bonjour, j'avais poser plus haut un exercice sur les matrices et une
symetrie bilaterale.
j'ai compris comment trouver la matrice qui était
1/3 -2/3 -2/3
-2/3 1/3 -2/3
-2/3 -2/3 1/3
ce que je comprend pas, c'est qu'apres , on me demande de trouver SANS
calcul les valeurs et vecteurs propres.
j'y arrive facilement avec calcul, (donc develloper le determinant) mais
sans , je vois pas comment les trouver???
faut il bouger les colonnes et les lignes, de facons a trouver une
matrices diagonales??? ou bien autre chose???
merci
a++
Posted by: Osiris
"elekis" <elekis@gawab.com> a écrit dans le message de news:
> bonjour, j'avais poser plus haut un exercice sur les matrices et une
> symetrie bilaterale.
> ce que je comprend pas, c'est qu'apres , on me demande de trouver SANS
> calcul les valeurs et vecteurs propres.
c'est quoi l'énoncé exact de l'exercice (à partir du début)...
Posted by: Osiris
"elekis" <elekis@gawab.com> a écrit dans le message de news:
> bonjour, j'avais poser plus haut un exercice sur les matrices et une
symetrie bilaterale.
*****************
Dans l'espace R3 muni d'une base canonique, considerons la symetrie
bilaterale par rapport au plan d'equation x+y+z = 0
determiner la matrice repesantant cette symetrie
*******************
> j'ai compris comment trouver la matrice qui était
> 1/3 -2/3 -2/3
> -2/3 1/3 -2/3
> -2/3 -2/3 1/3
> ce que je comprend pas, c'est qu'apres , on me demande de trouver SANS
> calcul les valeurs et vecteurs propres.
bah, tu as là la matrice d'une symétrie....
Les valeurs propres d'une symétrie sont 1,1,-1 en dimension 3
Les vecteurs propres associés à 1 sont deux vecteurs libres du plan
<x+y+z=0> et un vecteur propre associé à -1 est un vecteur orthogonal au
plan.
Il n'y a donc pas de calcul à faire.
Posted by: Moulin Mathieu
elekis wrote:
> 1/3 -2/3 -2/3
> -2/3 1/3 -2/3
> -2/3 -2/3 1/3
Ta matrice est égale à :
( 1 -2 -2 )
1/3 (-2 1 -2 )
(-2 -2 1 )
si tu lui rentre (1 1 1) et elle te sors (-1 -1 -1), ce qui fait une valeur
propre (-1) en vecteur propre (1 1 1).
(ca se voit assez bien non ?)
Ensuite, t'as plus qu'à trouver le plan orthogonal à la droite (-1 -1 -1) et
tu sais d'avance que tu aura ce qu'il te manque ...
La forme linéaire x+y+z=0 te donne la réponse :
Tu prend (1 -1 0) et (0 1 -1) comme vecteurs propres manquant (avec 1 pour
valeur propre pour les 2).
@+
----------------
Mathieu Moulin - lemathou at free.fr
Linux ? Ma liberté ...
Posted by: Marc Pichereau
On Tue, 18 May 2004 08:08:29 +0200, elekis <elekis@gawab.com> wrote:
>bonjour, j'avais poser plus haut un exercice sur les matrices et une
>symetrie bilaterale.
>
>j'ai compris comment trouver la matrice qui était
>1/3 -2/3 -2/3
>-2/3 1/3 -2/3
>-2/3 -2/3 1/3
>
>ce que je comprend pas, c'est qu'apres , on me demande de trouver SANS
>calcul les valeurs et vecteurs propres.
>
>j'y arrive facilement avec calcul, (donc develloper le determinant) mais
>sans , je vois pas comment les trouver???
>
>faut il bouger les colonnes et les lignes, de facons a trouver une
>matrices diagonales??? ou bien autre chose???
en fait si s est une symétrie par rapport à E1 parallélement à E2 avec
avec E=E1+(somme directe)E2
(si E2 est l'orthogonal de E1 , il s'agit de symétrie orthogonale par
rapport à E1)
et si x=x1+x2 (avec xi dans Ei)
par définition s(x)=x1-x2 (et donc s^2=id)
donc pas besoin d'examiner la matrice de s dans une base
pour voir que dès que
x est dans E1 s(x)=x (et réciproquemen)
et dès que x est dans E2 s(x)=-x (et réciproquemnt )
donc 1 est valeur propre l'espace propre étant E1
-1 est valeur propre l'espace propre étant E2
et donc s est diagonalisable puisque dans une base de E constituée
d'une base de E1 et d'une base de E2
la matrice est diagonale des 1 au début, puis des -1
Marc Pichereau wrote:
> On Tue, 18 May 2004 08:08:29 +0200, elekis <elekis@gawab.com> wrote:
>
>
>>bonjour, j'avais poser plus haut un exercice sur les matrices et une
>>symetrie bilaterale.
>>
>>j'ai compris comment trouver la matrice qui était
>>1/3 -2/3 -2/3
>>-2/3 1/3 -2/3
>>-2/3 -2/3 1/3
>>
>>ce que je comprend pas, c'est qu'apres , on me demande de trouver SANS
>>calcul les valeurs et vecteurs propres.
>>
>>j'y arrive facilement avec calcul, (donc develloper le determinant) mais
>>sans , je vois pas comment les trouver???
>>
>>faut il bouger les colonnes et les lignes, de facons a trouver une
>>matrices diagonales??? ou bien autre chose???
>
> en fait si s est une symétrie par rapport à E1 parallélement à E2 avec
>
> avec E=E1+(somme directe)E2
> (si E2 est l'orthogonal de E1 , il s'agit de symétrie orthogonale par
> rapport à E1)
> et si x=x1+x2 (avec xi dans Ei)
> par définition s(x)=x1-x2 (et donc s^2=id)
> donc pas besoin d'examiner la matrice de s dans une base
> pour voir que dès que
> x est dans E1 s(x)=x (et réciproquemen)
> et dès que x est dans E2 s(x)=-x (et réciproquemnt )
> donc 1 est valeur propre l'espace propre étant E1
> -1 est valeur propre l'espace propre étant E2
> et donc s est diagonalisable puisque dans une base de E constituée
> d'une base de E1 et d'une base de E2
> la matrice est diagonale des 1 au début, puis des -1
>
>
>
>>merci
>>
>>a++
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> *****************
>
> Pichereau Alain
>
> adresse mail antispam
> http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
> ( olympiades mathématiques 1ère S )
>
> *****************
merci a tous