Suite et Hypothèse de récurrence

[Kaolu]

Bien le bonjour !

Ici nous avons une suite (Un) définie sur N par la relation de récurrence
U0=0
U(n+1)= ;)(2+Un) (;) représente une racine carrée, vous l'aurez compris)

Par hypothèse de récurrence on a montré ultérieurement que :
-(Un) est minoré par 0
-(Un) est majoré par 2
-(Un) est croissante

On doit maintenant montrer que :
0;) 2-U(n+1) ;) 1/3(2-Un)

Si on devait utilisé la récurrence, il faudrait poser l'hypothèse, partir de l'inégalité donnée pour en bricolant arriver à ça :

0;) 2-U(n+2) ;) 1/3(2-U(n+1))

c'est à dire 0;) 2-;)(;)(Un+2)+2) ;) 1/3(2-;)(Un+2))

ce que très franchement je doute de pouvoir faire :p

On est peut être pas obligé de passer par une hypothèse de récurrence, j'ai essayé des méthodes conventionnelles qui semblent mieux marcher mais impossible de prouver que 2-U(n+1) ;) 1/3(2-Un)

Pas de difficulté cependant pour montrer séparément que les deux membres de l'inégalité sont supérieurs à 0 (en s'aidant du majorant).

Si on prend l'inégalité à l'envers, montrer que 2-U(n+1) ;) 1/3(2-Un) revient à montrer que U(n+1)-Un/3 ;) 4/3. Plus concrètement il nous faut prouver quela suite "s'accroit" de plus d'un tiers entre Un et U(n+1), ce que rien dans la relation de récurrence de base ne semble indiquer.

Enfin voilà si quelqu'un pouvait me mettre sur la voie ça serait gentil ^^
En vous remerciant d'avance =)

[Kaolu]

0;) 2-U(n+1) Tu peux déjà le faire directement avec les résultats que tu possède en une demie ligne.

Pas de difficulté cependant pour montrer séparément que les deux membres de l'inégalité sont supérieurs à 0 (en s'aidant du majorant).

Effectivement, disons que c'est la partie simple de l'exercice

[Kaolu]

Please Help =P