Suite convergente : Classique

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Nightmare
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Suite convergente : Classique

par Nightmare » 30 Aoû 2010, 15:21

Hello,

Soit une suite réelle bornée et telle que .

Discuter de la convergence de

Bon courage
:happy3:



Djmaxgamer
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par Djmaxgamer » 30 Aoû 2010, 15:28

Topic lycée ? Parce qu'avec des outils uniquement lycéens, je ne vois pas comment faire

Nightmare
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par Nightmare » 30 Aoû 2010, 15:31

A priori, seule la définition en terme infinitésimaux de la limite est nécessaire.

Djmaxgamer
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par Djmaxgamer » 30 Aoû 2010, 15:31

Ok je n'ai rien dit alors :id:

Finrod
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par Finrod » 30 Aoû 2010, 15:39

Si elle a une valeur d'adhérence, c'est forcément 2/3.

Si elle est bornée, elle convergera donc.

Rien d'autre d'utile, pour l'instant.

Rebelle_
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par Rebelle_ » 30 Aoû 2010, 16:11

Bonjour =)

Pardonnez mon ignorance mais je ne connais pas le nom de "valeur d'adhérence". Je me suis un peu renseignée, et il me semble que cela soit la limite de la suite, c'est bien ça ?

Merci pour vos informations. :)

Nightmare
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par Nightmare » 30 Aoû 2010, 16:12

Salut !

Valeur d'adhérence = Limite d'une sous-suite.

benekire2
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par benekire2 » 30 Aoû 2010, 16:14

Salut Rebelle,

Pas forcément, une valeur d'adhérence c'est un point où une infinité de termes s'accumulent, en d'autre termes c'est la limite d'une sous-suite de la suite (tu vois ce que c'est les sous suites ? )

Si ta suite converge il n'y a qu'une seule VA , mais il peut y en avoir si elle ne converge pas, par ex:

(-1)^n a deux valeurs d'adhérence : 1 et -1

Quoi qu'il en soit c'est pas vu au lycée.

EDIT. Grillé par nightmare :triste:

Rebelle_
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par Rebelle_ » 30 Aoû 2010, 16:15

Ah oui, mais je ne vois pas vraiment ce qu'est une sous-suite ici :$

Si je comprends bien la question de l'énoncé il faut étudier la convergence de la suite. Mais l'énoncé dit aussi que la suite tend vers 1 quand n tend vers l'infini. Il faut donc étudier la "vitesse" de convergence ?
Enfin je pense ne pas comprendre. En fait, au niveau des suites je n'ai qu'un simple niveau technique de Première S, c'est peut-être un peu juste pour cet exercice !

Rebelle_
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par Rebelle_ » 30 Aoû 2010, 16:17

benekire2 a écrit:Pas forcément, une valeur d'adhérence c'est un point où une infinité de termes s'accumulent, en d'autre termes c'est la limite d'une sous-suite de la suite (tu vois ce que c'est les sous suites ? )

Si ta suite converge il n'y a qu'une seule VA , mais il peut y en avoir si elle ne converge pas, par ex:

(-1)^n a deux valeurs d'adhérence : 1 et -1

Salut :)

Je vais essayer de reprendre ça avec mes mots. En gros c'est une "sous-limite", ou une "limite locale" ? Je vois ce que c'est grâce à ton exemple parce que, quelle que soit la valeur de n, u_n vaudra toujours 1 ou -1, je n'ai que deux valeurs possibles.

Djmaxgamer
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par Djmaxgamer » 30 Aoû 2010, 16:17

Rebelle_ a écrit:Ah oui, mais je ne vois pas vraiment ce qu'est une sous-suite ici :$

Si je comprends bien la question de l'énoncé il faut étudier la convergence de la suite. Mais l'énoncé dit aussi que la suite tend vers 1 quand n tend vers l'infini. Il faut donc étudier la "vitesse" de convergence ?
Enfin je pense ne pas comprendre. En fait, au niveau des suites je n'ai qu'un simple niveau technique de Première S, c'est peut-être un peu juste pour cet exercice !


L'énoncé ne donne pas la limite de la suite, mais la limite de

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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 30 Aoû 2010, 16:19

l'énonçé ne dit pas que ça tends vers 1.
Au contraire, il a été dit que s'il y avait une limite L alors elle satisfaisait automatiquement l'équation L + 1/2 L = 1 (en passant les un à la limite) donc L =2/3

Rebelle_
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par Rebelle_ » 30 Aoû 2010, 16:19

Djmaxgamer a écrit:L'énoncé ne donne pas la limite de la suite, mais la limite de

Ah mince oui, tout à fait... Donc ça change tout !

Il faudrait commencer par trouver une expression utilisable plus facilement alors ? Je n'ai pas d'idée en fait :/

benekire2
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par benekire2 » 30 Aoû 2010, 16:19

Nightmare, je n'y arrive pas sans utiliser quelques résultats sur les sous suites, notamment Bolzano-Weirestrass ... si il y a un autre moyen je vois pas trop, j'ai essayé de réécrire ça avec la définition mais je vois pas trop ... une petioute aide ?

Rebelle_
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par Rebelle_ » 30 Aoû 2010, 16:20

Ericovitchi a écrit:l'énonçé ne dit pas que ça tends vers 1.
Au contraire, il a été dit que s'il y avait une limite L alors elle satisfaisait automatiquement l'équation L + 1/2 L = 1 (en passant les un à la limite) donc L =2/3

Ah oui d'accord, je me souviens bien de ça. Donc la seule limite possible (une suite ne peut en avoir plus ?!) est 2/3.
Et donc l'énoncé revient à... ?

Nightmare
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par Nightmare » 30 Aoû 2010, 16:22

Salut,

comment fais-tu déjà avec Bolzano-Weierstaß ? Même en l'utilisant, ce n'est pas trivial.

Nightmare
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par Nightmare » 30 Aoû 2010, 16:23

Rebelle > L'énoncé revient donc à montrer que la suite est convergente (ou non d'ailleurs), puisqu'on sait alors que si elle converge, sa limite est 2/3

benekire2
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par benekire2 » 30 Aoû 2010, 16:23

Rebelle_ a écrit:Salut :)

Je vais essayer de reprendre ça avec mes mots. En gros c'est une "sous-limite", ou une "limite locale" ? Je vois ce que c'est grâce à ton exemple parce que, quelle que soit la valeur de n, u_n vaudra toujours 1 ou -1, je n'ai que deux valeurs possibles.


Ouais mon exemple est peut être "piège" en fait prenons un exemple on pose et , clairement u n'a pas de limite, pourtant si on prend seulement la suite ( qui est une sous-suite [ou suite extraite]) alors tu te rend compte que elle converge vers 0 et on dit que 0 est une valeur d'adhérence de u. Considère ça comme une sous limite si tu veut, mais pas une limite locale ( ça n'a pas de sens ... )

Djmaxgamer
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par Djmaxgamer » 30 Aoû 2010, 16:23

Rebelle_ a écrit:Salut :)

Je vais essayer de reprendre ça avec mes mots. En gros c'est une "sous-limite", ou une "limite locale" ? Je vois ce que c'est grâce à ton exemple parce que, quelle que soit la valeur de n, u_n vaudra toujours 1 ou -1, je n'ai que deux valeurs possibles.


Je suis pas sur de comprendre ce que tu veux dire.
Mais le soucis doit être dans la notion de suite extraite, qui n'est même pas du niveau terminale.
Mais, dit de manière compréhensible (mais pas très rigoureuse) : prends une application de dans strictement croissante, la suite extraite de u réindexée par phi est définie par :

Pour l'exemple de benekire, les suites extraites : et (l'application phi étant réspectivement n->2n et n->2n+1) convergent respectivement vers 1 et -1 (ce sont des suites constantes).

Comme dit benekire, k est une valeur d'adhérence de u si strictement croissante t.q. converge vers k.

Nightmare
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par Nightmare » 30 Aoû 2010, 16:25

Benekire a bien intuité la définition : Un nombre est valeur d'adhérence d'une suite si n'importe quel intervalle centré en cette valeur contient une infinité de terme de la suite.

 

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