Mathématiques - Stigmatisme approché du miroir sphérique

Stigmatisme approché du miroir sphérique
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Posted by: andalous

Salut je bloque sur cet exo

On considère un miroir sphérique concave de centre C, de sommet S et de rayon R. L’axe optique est orienté dans le sens de la lumière incidente.
Soit A un point sur l’axe optique (différent de C et de S). On considere un rayon incident passant par A et se réfléchissant en un point I du miroir ( différent de S). Soit A’ le point d’intersection du rayon réfléchi avec l’axe optique.

1) Montrer qu’on a : 1/CA + 1/CA’ = 2cos(alpha) / CS où alpha est l’angle que fait la direction de CI avec l’axe optique.
On utilisera les lois de Descartes sur la réfléxion et la relation des sinus dans les triangles CAI et CA’I ( sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c avec a,b et c les longueurs des cotés opposés respectivement aux angles A , B et C). Ensuite on algebrisera la relation obtenue.
En déduire que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour les points de son axe, distinct de C et S

2) Montrer que si on se limite à des rayons incidents peu inclinés par rapport a l’axe optique(I proche de S) il y a stigmatisme approché pour les points de l’axe optique. En déduire la relation de conjugaison avec origine au centre.

Voilà je sais pas trop comment partir j’ai trouvé 1/CA + 1/CA’ = ( 1/sin(i) ) ( sin(alpha)/IA + sin(alpha)/IC ) mais je sais pas si ca sert vraiment merci de m’aider bye

Posted by: andalous

apparament personne n'est inspiré....

Posted by: flaja

Bonjour,
l'énoncé nous guide bien jusqu'à :
$\frac{1}{AC} + \frac{1}{A'C} = \frac{\sin A+\sin A'}{\sin i} \times \frac{1}{R}$
ce qu'il reste à démontrer :
$2 \cos \alpha = \frac{\sin A+\sin A'}{\sin i}$

On cherche une relation entre A, A' et i :
dans le triangle (ACI) : $A+i+(\Pi-\alpha) = \Pi$
dans le triangle (A'CI) : $A'+i+\alpha = \Pi$
d'où l'on tire A et A'
ensuite, on fait $\sin A$ et $\sin A'$ que l'on additionne.

Je te laisse terminer les calculs.

Posted by: andalous

merci je vais essayer de continuer

Posted by: andalous

j'arrive à 1/AC + 1/A'C = (2/R)(sin(alpha)cos(i)/sin(i)) mais j'arrive pas à montrer que sin(alpha)cos(i)/sin(i) = cos(alpha) merci de m'aider

Posted by: flaja

Tu as raison, je n'avais pas fait le calcul jusqu'au bout :

$A = \alpha - i$
$A' = \Pi - \alpha - i$
d'où $\sin A = \sin \alpha \cos i - \cos \alpha \sin i$
d'où $\sin A' = \sin \alpha \cos i + \cos \alpha \sin i$
-----------------------------------------------------------------
$\sin A + \sin A' = 2 \sin \alpha \cos i$

3 possibilités :
1) Il doit y avoir une erreur de signe sur un des deux $\sin A$ ou $\sin A'$
car alors :
$(-\sin A) + \sin A' = 2 \cos \alpha \sin i$
2) la formule à démontrer est fausse
3) la formule $sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c$ ne s'applique pas telle quelle pour le triangle (ACI) qui a l'angle $C > \Pi/2$
Désolé

Posted by: flaja

La formule doit être :
$1/\overline{CA} + 1/\overline{CA'} = 2cos(\alpha) / CS$
Soit :
$1/CA' - 1/CA = 2cos(\alpha) / CS$
CA > CA' => 1/CA' - 1/CA > 0

En effet quand i tend vers 0, CA et CA' tendent vers 0
1/CA' + 1/CA tend vers l'infini
alors que $2cos(\alpha) / R$ reste fini.