Stigmatisme approché du miroir sphérique

[andalous]

Salut je bloque sur cet exo

On considère un miroir sphérique concave de centre C, de sommet S et de rayon R. L’axe optique est orienté dans le sens de la lumière incidente.
Soit A un point sur l’axe optique (différent de C et de S). On considere un rayon incident passant par A et se réfléchissant en un point I du miroir ( différent de S). Soit A’ le point d’intersection du rayon réfléchi avec l’axe optique.

1) Montrer qu’on a : 1/CA + 1/CA’ = 2cos(alpha) / CS où alpha est l’angle que fait la direction de CI avec l’axe optique.
On utilisera les lois de Descartes sur la réfléxion et la relation des sinus dans les triangles CAI et CA’I ( sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c avec a,b et c les longueurs des cotés opposés respectivement aux angles A , B et C). Ensuite on algebrisera la relation obtenue.
En déduire que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour les points de son axe, distinct de C et S

2) Montrer que si on se limite à des rayons incidents peu inclinés par rapport a l’axe optique(I proche de S) il y a stigmatisme approché pour les points de l’axe optique. En déduire la relation de conjugaison avec origine au centre.

Voilà je sais pas trop comment partir j’ai trouvé 1/CA + 1/CA’ = ( 1/sin(i) ) ( sin(alpha)/IA + sin(alpha)/IC ) mais je sais pas si ca sert vraiment merci de m’aider bye

[andalous]

apparament personne n'est inspiré....

[flaja]

Bonjour,
l'énoncé nous guide bien jusqu'à :

ce qu'il reste à démontrer :


On cherche une relation entre A, A' et i :
dans le triangle (ACI) :
dans le triangle (A'CI) :
d'où l'on tire A et A'
ensuite, on fait et que l'on additionne.

Je te laisse terminer les calculs.

[andalous]

merci je vais essayer de continuer

[andalous]

j'arrive à 1/AC + 1/A'C = (2/R)(sin(alpha)cos(i)/sin(i)) mais j'arrive pas à montrer que sin(alpha)cos(i)/sin(i) = cos(alpha) merci de m'aider

[flaja]

Tu as raison, je n'avais pas fait le calcul jusqu'au bout :



d'où
d'où
-----------------------------------------------------------------


3 possibilités :
1) Il doit y avoir une erreur de signe sur un des deux ou
car alors :

2) la formule à démontrer est fausse
3) la formule ne s'applique pas telle quelle pour le triangle (ACI) qui a l'angle
Désolé

[flaja]

La formule doit être :

Soit :

CA > CA' => 1/CA' - 1/CA > 0

En effet quand i tend vers 0, CA et CA' tendent vers 0
1/CA' + 1/CA tend vers l'infini
alors que reste fini.