Spé maths Term S - Aide + vérification

[Rikku]

Voilà, j'ai quelques exercices à faire pour la rentrée, et j'ai besoin d'aides et de vérifications !

N°1 :

a) Déterminer, selon les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division euclidienne de 4^n par 7

Je l'ai fait, et j'ai trouvé :
si n = 3k, le reste est 1 (j'ai parlé en congruences)
si n = 3k+1, le reste est 4
si n = 3k+2, le reste est 2

b) En déduire, selon les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de (851)^3n + (851)^2n + (851)^n + 2 par 7

Alors pour ça je ne suis pas très sûre, je m'attendais à ce que 851 soit divisible par 4, mais non. J'ai décomposé 851, ça donne 851= 3x4^4 + 4^3 + 4² + 3, et avec les congruences que j'ai trouvée dans la question a), j'ai pu trouver à quoi était congru chaque membre de la décomposition de 851, et j'ai ajouté, j'en suis arrivée à :

Si n = 3k, (851)^3n + (851)^2n + (851)^n + 2 est congru à 5 modulo 7
Si n = 3k+1,(851)^3n + (851)^2n + (851)^n + 2 est congru à 2 modulo 7
Si n = 3k+2, (851)^3n + (851)^2n + (851)^n + 2 est congru à 2 modulo 7

Voilà, alors je sais pas si j'ai pas utilisé une méthode trop longue ou si ce que j'ai fait est bon =/ ! De plus ça m'inquiète de trouver deux fois le même reste pour n = 3k+1 et n = 3k+2, à savoir 2 ...

N°2 :

Démontrer que si l'entier naturel n n'est pas divisible par 3, alors 9 divise n^6-1

Là je ne sais pas du tout comment commencer, j'ai dit que si n n'est pas divisible par 3, alors il s'écrit 3k+1 ou 3k+2, mais avec les congruences, j'arrive à montrer que n^6-1 est divisible par 3, mais s'il est divisible par 3 il n'est pas nécessairement divisible par 9... donc j'ai besoin d'aide ! =/

N°3 :

1- Dans la division euclidienne
- de a par 8 le reste est 2
- de a par 104 le reste est r

a) Démontrer que r est congru à 2 modulo 8

Donc là pareil je sais pas si j'ai utilisé quelque chose de trop long.
J'ai dit que a était congru à r modulo 104
Donc a - r peut s'écrire 104k, c'est à dire 8*13k, donc 8K (avec K = 13k).
Donc si a - r est un multiple de 8, alors a est congru à r modulo 8 ...

r est congru à a modulo 8 et a est congru à 2 modulo 8 donc r est congru à 2 modulo 8.

b) Quelles sont toutes les valeurs possibles de r ?

Je ne sais pas trop comment l'expliquer, j'ai dit que r est congru à 2 modulo 8 donc r - 2 est un multiple de 8, r - 2 = 8k, d'où r = 8k+2. Ce sont tous les multiples de 8, +2.

2- Dans la division euclidienne
- de a par 13 le reste est 3
- de a par 104 le reste est r

a) Démontrer que r est congru à 3 modulo 13

J'ai fait comme dans la question 1...

b) Quelles sont toutes les valeurs possibles de r ?

J'ai fait comme dans la question 1... Et j'ai trouvé que r = 13k' + 3

3- Dans la division euclidienne
- de a par 8 le reste est 2
- de a par 13 le reste est 3
- de a par 104 (c'est-à-dire 13x8) le reste est r

Déduire des questions 1 et 2 la valeur de r.

J'ai trouvé la valeur de r en "cherchant comme ça", c'est 42, mais je ne vois pas comment l'obtenir !

_________________________________

Merci de votre aide...

[Rikku]

Personne qui a fait spé maths pour m'aider svp ? ^^"

[Rikku]

Toujours personne ?

[_-Gaara-_]

Atends je lis :) :id:

[Rikku]

Merci Gaara ;)

Au fait j'ai peut-être quelque chose pour le n°2 !

j'ai cherché (pas comme ces niouks qui posent leur problème et qui disent "j'ai besoin d'aide viiiiiite vite c'est pour lundi", enfin bon, moi je cherche T__T), et j'ai étudié toutes les congruences modulo 9 pour n = 9k+1, 9k+2 ... 9k+8, et je trouve qu'à chaque fois n^6-1 est congrus à 0 ! Donc ça marche ! mais je voudrais savoir si c'est bien ça ^^.

Je ne l'ai pas fait pour 9k+3 et 9k+6 vu que ce sont des multiples de 3 et qu'ils demandaient quand n n'est pas divisible par 3...

[_-Gaara-_]

Bon pour le 1, la première partie elle est juste mais faut que je vérifie pour la 2, regardes
tu as donc si tu as or donc donc d'où et par suite tuu as donc c'est juste.

(juste une autre rédaction )

pour n = 3k+1

donc et donc par somme

C'est ok.

Pour n = 3 k +2

donc et donc par somme

C'est juste.

ata je fais la suite (oui je suis lent mdr ^^ )

[Rikku]

Miracle, j'ai juste *_*.

(et au fait, prends ton temps, à la limite t'es même pas obligée de faire tout ça, j'me sens presque génée ^^)

Et puis tu sais j'suis pas du genre "ouaiiiii j'suis pressée c'est pour demain", nan, j'suis pas pressée, un peu car j'ai envie de le rédiger au propre et de comprendre mais j'suis pas là à attendre que quelqu'un me file la correc' toute cuite ^^ je cherche aussi, c'est juste que ça m'énervait de voir ces autres gens qui postent leur DM à faire pour la rentrée sans avoir cherché mais qui le posent car c'est trop difficile soit disant et qui demandent à ce qu'on leur file les réponses comme ça... ça m'énerve, et comme mon sujet descendait (et que, je l'avoue, je l'ai super bien présenté et en plus j'ai CHERCHé !! lol) ben je le remontais ... ^^"

Désolée je parle je parle T__T.

[_-Gaara-_]

Tkt c'est avec plaisir que je propose mon aide :)

Et çà tombe bien que tu ne sois pas pressée tu auras l'avantage de tout comprendre et de disposer de plusieurs types de rédaction :zen:

(Tkt le sujet ne coulera pas huhu ^^ :we: )

[Rikku]

Oui d'ailleurs je suis en train de comparer et de commencer à organiser mes idées car la rédac est longue ^^ !

[_-Gaara-_]

Bon pour l'exercice numéro 2

Si n n'est pas divisible par 3 donc on a :
et d'où et d'où
ainsi dans les deux cas donc .

Hummm je ne vois pas où je veux arriver là oO une seconde je refais

J'en arrives au même point que toi :we:

[Rikku]

C'est pour ça que j'ai changé.

j'ai dit que tout entier n pouvait s'écrire sous la forme :

9k+1, 9k+2, 9k+3, 9k+4, 9k+5, 9k+6, 9k+7, 9k+8

Parmi ceux là, deux sont des multiples de 3 : 9k+3 et 9k+6.

Avec tous les autres, j'ai étudié la congruence modulo 9.
Par exemple, si n=9k+1, alors n est congrus à 1 modulo 9.
n^6 est congrus à 1 modulo 9
n^6 - 1 est congru à 0 modulo 9
Donc c'est un multiple de 9

Et j'ai fait ça pour les autres ça marche également
Mais je suis pas sûre que c'était ça qu'il faille faire ! ^^"

[_-Gaara-_]

Euh je reprends ^^

donc or donc donc .

On a donc .

j'espère que ce que je dis est juste :hum:

[_-Gaara-_]

Pour l'exercice 3,

la première partie est juste,

donc d'où donc d'où huhu et je te cache pas alors que :zen:

[_-Gaara-_]

Pour b) Quelles sont toutes les valeurs possibles de r ?

Tu as juste.

mais je rédige quand même vu que tu hésites.

on a donc tu dis directement que :id:
(je sais pas s'il faut préciser que 8k+2 doit être inférieur à 104 :hum: car écris sous cette forme çà ne suggère pas que 8k c'est tous les diviseurs de 8, 8 est plutôt le diviseur de 8k)

[Rikku]

Ah oui car le reste doit être inférieur au quotient ^^
Merci, j'y avais pensé mais je l'ai pas noté T__T quelle cruche ^^"

Bon jusque là c'est bon.

Pour le 2 je suis d'accord mais je trouve ton raisonnement compliqué xD et tu n'exclus pas les valeurs de n qui sont des multiples de 3 ? Car dans l'énoncé ils précisent bien quand n n'est pas divisible par 3 ...

Enfin j'ai sûrement fait juste ^^.

[_-Gaara-_]

MDr nevermind, ton raissonnement est juste j'essayais juste de te proposer une autre méthode :) :id:

bon pour le reste tu as juste, il reste la dernière question :we:

[Rikku]

Ouai juste cette dernière question là je ne vois vraiment pas O_o ! A part dire que 42 est le seul multiple commun aux multiples de 13 + 3 et de 8 + 2 ... ^^"

[_-Gaara-_]

lol c'est bien ce qu'il faut faire :id:

[Rikku]

T'es sûr ?
Parce que ça me parait trop simple ^^' !

[_-Gaara-_]

valeurs de R pour le premier cas : (8k+2 avec )
10
18
26
34
42
50
58
66
74
82
90
98

Valeurs de R dans le deuxième cas : (13k' + 3 avec )
16
29
42
55
68
81
94

42 est la seul et unique valeur commune donc on a bien r = 42 :ptdr:

42 vérifie à la fois

_____P1_______________
Dans la division euclidienne
- de a par 8 le reste est 2
- de a par 104 le reste est r

et

______P2______________
Dans la division euclidienne
- de a par 13 le reste est 3
- de a par 104 le reste est r





^^