Un spaghetti en forme de trapèze

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: Imod

Un problème amusant .

Un exercice classique : on coupe un spaghetti en trois , quelle est la probabilité pour que les trois morceaux soient les côtés d'un triangle ?

Moins classique : on coupe un spaghetti en quatre , quelle est la probabilité pour que les quatre morceaux soient les côtés d'un trapèze ?

Bon courage !

Imod


Posted by: ffpower

je pense avoir trouvé pour le premier.Si on coupe le segment [0,1] en 3 morceaux,j ai obtenu que pouvoir former un triangle était équivalant au fait que les 3 morceaux soient de longueur inferieure a 1/2
Donc apres,l enoncé n est pas tres précis sur la proba que l on parle,mais j ai supposé que c était les 2 coupures qui étaient choisies de maniere independantes et uniformes.Si X et Y sont nos 2 coupures,si X<Y par ex il faut
X<1/2,Y>1/2,Y-X<1/2.Meme raisonnement si Y>X.Calculant l aire du domaine correspondant,j obtiens une proba de 1/4.

Je réfléchis sur le deuce..


Posted by: Imod

C'est ça pour le premier , c'est un grand classique et un petit hors d'oeuvre . La nouveauté est dans le deuxième , on suppose bien sûr que les coupes sont toujours faites de façons indépendantes et uniformes ( c'est une énigme et pas un devoir de proba ) .

Une fois l'appréhension passée , c'est presqu'aussi simple que pour le triangle .

Imod


Posted by: ThSQ

Ah ouais c'est une généralisation sympa du problème classique sur les triangles !

Une condition "bien connue" (au moins par ceux qui ont fait joujou avec des pbs d'olympiades) pour qu'un quadrilatère de côtés a,b,c,d et de demi-périmètre s puisse être mis comme un trapèze est : a,b,c,d <= s

Les conditions sont donc : 0 <= a,b,c <= s et a+b+c >= s et ça correspond à la moitié du cube de côté s

La probabilité est donc de ½


Posted by: Imod

C'est ça ThSQ , amusant , non ?

Imod


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Imod
amusant , non ?


j'adore ce chose de truc !


Posted by: nodgim

Citation:
Posté par Imod
Un problème amusant .

Un exercice classique : on coupe un spaghetti en trois , quelle est la probabilité pour que les trois morceaux soient les côtés d'un triangle ?

Moins classique : on coupe un spaghetti en quatre , quelle est la probabilité pour que les quatre morceaux soient les côtés d'un trapèze ?

Bon courage !

Imod


Beau problème, mais pourquoi parler d'un trapèze ? Ne peut on dire plus simplement un quadrilatère ? Je dirais que ce sont les mêmes contraintes, car tout quadrilatère, à longueur de cotés invariants, doit pouvoir être déformé en trapèze.


Posted by: Imod

Citation:
Posté par nodgim
Beau problème, mais pourquoi parler d'un trapèze ? Ne peut on dire plus simplement un quadrilatère ? Je dirais que ce sont les mêmes contraintes, car tout quadrilatère, à longueur de cotés invariants, doit pouvoir être déformé en trapèze.

C'est vrai mais saurais tu le montrer simplement , dans les règles de l'art , sans trigonométrie ?

Imod


Posted by: nodgim

Je ne sais pas ce que tu veux dire par les règles de l'art, mais si tu étires un quadrilatère articulé en éloignant 2 sommets opposés, tu obtiendras un triangle. Si ensuite tu fais la même opération avec les 2 autres cotés opposés, tu obtiendras un autre triangle; Il est évident qu'entre ces 2 triangles, il y a forcément 2 cotés opposés qui vont se trouver parallèles au cours de l'opération.


Posted by: Imod

Citation:
Posté par nodgim
Je ne sais pas ce que tu veux dire par les règles de l'art, mais si tu étires un quadrilatère articulé en éloignant 2 sommets opposés, tu obtiendras un triangle. Si ensuite tu fais la même opération avec les 2 autres cotés opposés, tu obtiendras un autre triangle; Il est évident qu'entre ces 2 triangles, il y a forcément 2 cotés opposés qui vont se trouver parallèles au cours de l'opération.

Ce n'est pas ce que j'appelle les règles de l'art En fait , étant donnés \frac{1}{2} \geq w\geq x \geq y \geq z , construire le trapèze de côtés w,x,y,z à la règle et au compas

Imod


Posted by: nodgim

Citation:
Posté par Imod
Ce n'est pas ce que j'appelle les règles de l'art En fait , étant donnés \frac{1}{2} \geq w\geq x \geq y \geq z , construire le trapèze de côtés w,x,y,z à la règle et au compas

Imod


Bonjour Imod,
J'ai donné une preuve, elle en vaut d'autres, formalisées ou pas selon les règles de l'époque.
Sinon, pour le problème proprement dit, je trouve une valeur légèrement supérieure à celle donnée par Th Sq, soit 1/2 +1/8=5/8.


Posted by: nodgim

Citation:
Posté par Imod
Ce n'est pas ce que j'appelle les règles de l'art En fait , étant donnés \frac{1}{2} \geq w\geq x \geq y \geq z , construire le trapèze de côtés w,x,y,z à la règle et au compas

Imod


Sinon, pour répondre à ton défi, il suffit d'imaginer un trapèze comme la juxtaposition d'un rectangle et d'un triangle, la base de ce triangle étant la différence entre les 2 cotés parallèles du trapèze.


Posted by: Imod

Je précise la construction . Comme \frac{1}{2} \geq w \geq x \geq y \geq z \geq 0 , x+y \geq w-z \geq x-y \geq y-x les cas d'égalités correspondants aux parallélogrammes ou aux cas de dégénérescence du quadrilatère . Sinon , on peut construire un triangle de côtés w-z,x,y et le trapèze de côtés w,x,y,z par translation ( voir figure ) .

http://img167.imageshack.us/img167/...ettrapzemv0.jpg

Imod


Posted by: nodgim

Citation:
Posté par Imod
Je précise la construction . Comme \frac{1}{2} \geq w \geq x \geq y \geq z \geq 0 , x+y \geq w-z \geq x-y \geq y-x les cas d'égalités correspondants aux parallélogrammes ou aux cas de dégénérescence du quadrilatère . Sinon , on peut construire un triangle de côtés w-z,x,y et le trapèze de côtés w,x,y,z par translation ( voir figure ) .

http://img167.imageshack.us/img167/...ettrapzemv0.jpg

Imod


Oui!
Un petit dessin est mieux qu'un long discours!
Sinon ,gare tout de même aux contraintes. En fait, pour que 4 segments puissent former un quadrilatère, il faut et il suffit que le plus grand soit <= à la somme des trois autres.










-