Mathématiques - Sous groupe engendré par un élément.

Sous groupe engendré par un élément.
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Posted by: Aldebaran

Bonjour à tous ! (heureusement que vous êtes là en ce moment...)

J'ai un petit souci dans la compréhension d'un cours (encore une fois d'algèbre pour ceux qui me connaissent !).

Voilà :
Soit $\large (G,\ast)$ un groupe, de neutre $\large e$ . Soit $\large a$ un élément de $\large G$ .
Il est clair que l'application $\large f$ définie par $\large f(m)=a^m$ est un morphisme de $\large (Z,+)$ dans $\large (G,\ast)$ , ( en effet $\large \forall (m,n) \in Z^2, f(m+n)=a^{m+n}=a^m \ast a^n=f(m) \ast f(n)$ ), et l'image de $\large f$ n'est autre que le sous-groupe $\large (a)$ de $\large (G,\ast)$ engendré par $\large a$ .

Là où je ne pige plus, c'est quand on dit qu'il existe un unique entier naturel $\large n$ tel que $\large ker (f) = nZ$ .

Quelqu'un pourrait-il bien m'expliquer ce que veut dire cette proposition ?
(je tiens à préciser que j'ai déjà plus ou moins compris cette notion de noyau dans un groupe)...

Posted by: RadarX

Le ker d'un morphisme f: G -----> H de groupes est un sous groupe de G. C'est relativement facile a verifier.
Donc pour le cas ou G = Z, ker f est un sous groupe de Z; or on sait que les sous groupes de Z sont les ensembles de la forme nZ n>=0. Donc kerf est de la forme nZ! c'est tout.

Par contre si tu n'es pas convaincu qu'un sous groupe de Z est de la forme nZ, tu auras la peuvre dans toute litterature sur les groupes et on y utilise la divison euclidienne dans Z.

RadarX.

Posted by: Aldebaran

Merci RadarX, c'était pourtant si simple...