Mathématiques - sous-anneau

sous-anneau
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Posted by: RadarX

Salut tout le monde,

Je rappelle d'abord qu'un sous anneau B d'un anneau A est une partie de A non vide telle que:
- (x € B et y € S) ===> x - y € B;
- (x € B et y € B) ===> xy € B;
- 1 (element unité de A) € B;

Alors je voudrais alors avoir une description du sous anneau B de A engendré par une partie S. Comment s'ecriraient donc ses elements?

RX.

Posted by: phenomene

Une réponse qui n'en est pas vraiment une... La description que tu demandes n'est pas jolie jolie. En vérité, la notion de sous-anneau ne présente aucun intérêt (contrairement à celle de sous groupe), elle ne permet pas de définir la notion d'anneau quotient par exemple (comme celle de sous-groupe (distingué) permet de définir celle de groupe quotient).
La vraie notion intéressante, c'est celle d'idéal . On dit que $I$ est un idéal d'un anneau commutatif (pour simplifier) $A$ si c'est un sous-groupe additif de $A$ , et si, pour tout $x\in I$ et tout $\lambda\in A$ , on a $\lambda x\in I$ .
L'idéal engendré par une partie $S$ de $A$ est alors tout simplement l'ensemble des combinaisons $\sum_{i=1}^n\lambda_is_i$ , avec les $\lambda_i$ dans $A$ , et les $s_i$ dans $S$ ( $n$ étant un entier naturel quelconque).
On peut définir ensuite la notion de quotient d'un anneau par un idéal, et faire plein de choses intéressantes (comme de l'arithmétique si l'anneau est assez joli !).

Je ne sais pas ton niveau d'études et je raconte peut-être du charabia (il me semble que les idéaux ont disparu du programme de taupe par exemple), mais en tout cas, ne t'embête pas avec la notion de sous-anneau, elle ne sert à rien.

Posted by: Alpha

Les idéaux sont bien au programme de MP. Et avec ça, évidemment, pas mal d'arithmétique modulaire (c'est vraiment pas de la rigolade)!

J'ai essayé de chercher ce qui était demandé pour le sous-anneau, mais j'ai laissé tomber : ça m'a l'air assez compliqué, et beaucoup moins intéressant que la notion d'idéal!

Posted by: phenomene

Pour répondre à la question initiale, si je ne dis pas de bêtise, le sous-anneau engendré par $S$ est l'ensemble des éléments de $A$ obtenus par un nombre fini de sommes, passages à l'opposé, et multiplications d'éléments de $S$ . Il n'y a aucune raison que ces bêtes-là se simplifient !

Posted by: RadarX

Totalement d'accord avec vous sur la primauté de l'importance et de l'interet Ideaux sur les sous-anneaux; mais c'est juste par curiosité et pour peut-etre l'utiliser dans la resolution d'un probleme.

Rx.

Posted by: RadarX

Et puis allez gars... Arretez de dire " ca ne presente aucun interet". Ca fait tres peremptoire.
Ca me rappelle certains adeptes de sciences appliquées (certains physiciens ou autres penseurs pratiques de la nature reelle) qui ont dit ou diraient que les maths ce ne servent a rien et que c'est de la masturbation intellectuelle... et qui se rendent compte des annees apres, voire meme des siecles apres, de l'utilité des recherches mathematiques d'alors!
Donc je vous rejoins donc sur le fait que les ideaux parraissent aujourd'hui plus interessants (pour l'arithmetique et la geometrie); mais c'est une fois que l'anneau est defini ou decrit. On est alors bien tenté de les decrire avant toute etude ou toute introduction d'ideaux.
Les maths et la philosphie, restent a mon avis les disciplines ou l'imagination et la curiosité gardent toutes leurs libertés d'action. Il y est pour principe de se poser toutes les questions qui nous viennent a l'imagination et de statuer la dessus: il y a solution, dans lequel cas on essaie de la decrire, sinon pas de solution auxquel cas on prouverait aussi cette affirmation...
Tout ceci pour reaffirmer que ma question etait de toute facon bien motivée:
- ya le fait que cela pourrait bien m'aider a resoudre un probleme;
- une autre est la recherche desinteressée (etablir des resultats ou verites);
- enfin ya deja eu des precedents de description de sous-anneau: exemple: le sous-anneau de C (les complexes) engendré par Z (entiers rationnels) et i (unité imaginaire) est tout simplement l'anneau des entiers de Gauss Z[i] = {a + ib, a et b € Z}.
De meme celui engendré par Z et racine de 2 dans C ou IR se decrit de la meme maniere.
Et ces descriptions sont tres utiles pour travailler dans ces structures.

Donc pourquoi pas essayer de voir une methode generale pour ca, meme si j'admet avec vous que ca reste... "chiant".
Vla , l'essentiel est dit!
Je precise ceci n'est pas de la polemique (avant que HargarX ne m'attaque), je fait juste part d'une maniere de voir les choses. Et merci quand meme des reponses quelles qu'elles soient!

Rx.

Posted by: Alpha

Je pense que le sous-anneau engendré par S est ce qu'a dit phenomene, mais la chose m'a semblé si compliquée à écrire de manière formelle que je n'ai pas cherché à le faire.

Si jamais j'ai du temps, j'essaierai.

Par ailleurs, RadarX, il serait bon que tu soignes légèrement ton expression. De plus, phenomene et moi n'avons jamais eu une attitude similaire à celle que tu décris au début de ton message, et la comparaison que tu fais est déplaisante.

Posted by: phenomene

Bonjour,

Il ne fallait pas le prendre mal, je ne voulais pas dire que la question posée n'avait aucun intérêt ; au contraire, c'est un très bon moyen de réaliser pourquoi le concept de sous-anneau est si pauvre : décrire un sous-anneau engendré en toute généralité est compliqué !
Bien entendu, je ne prétends pas condamner par avance toute découverte mathématique (surtout en algèbre qui n'est pas du tout ma spécialité

). Mais je pense tout de même avoir suffisamment de recul pour connaître l'importance (mineure) de la notion de sous-anneau dans les mathématiques actuelles.
C'est vrai qu'il y a des sous-anneaux intéressants, comme les entiers de Gauss, mais c'est plutôt en tant qu'anneaux à part entière qu'ils sont intéressants, le fait qu'il s'agisse d'une sous-structure d'une structure d'anneau plus grande me paraît peu utile, puisque ça ne permet même pas de former un quotient.

L'expression "aucun intérêt" était un tantinet exagérée, certes. Mais il est faux de dire que les mathématiques consistent à se poser toutes les questions possibles et à essayer d'y répondre. Non, cela ne fonctionne pas comme ça. On ne peut pas tout faire, et les mathématiciens réfléchissent sur les problèmes qui leur semblent intéressants (par leur connexion avec d'autres questions internes ou externes aux mathématiques). Bien sûr, la notion de problème intéressant est subjective et susceptible d'évoluer lorsqu'un nouvel éclairage sur une notion apparaît. Mais faire des généralités pour faire des généralités est stérile.
Je ne peux résister au plaisir de vous citer la rencontre de Grothendieck avec Schwartz et Dieudonné :

"Nous le reçûmes donc en octobre 1951. Il présenta d'abord à Dieudonné un article d'une cinquantaine de pages, sur "L'intégration à valeurs dans un groupe topologique". C'était exact, mais rigoureusement sans aucun intérêt. Dieudonné, avec l'aggressivité (toujours passagère) dont il était capable, lui passa un savon mémorable, arguant qu'on ne devait pas travailler de cette manière, en généralisant pour le plaisir de généraliser. Il fallait que le problème traité fût difficile, et susceptible d'applications dans le reste des mathématiques (ou d'autres sciences) ; ses résultats ne serviraient jamais à rien ni à personne. Dieudonné avait raison, mais Grothendieck ne l'admit jamais. "

(in Un mathématicien aux prises avec le siècle, Laurent Schwartz, Odile Jacob, 1997).

Grothendieck en a fait, des maths intéressantes, pourtant, plus tard ! Je crois que c'est avec ce passage en tête que j'ai utilisé dans mon premier message l'expression "aucun intérêt". C'est gonflé j'admets, car si pour le mauvais caractère, je suis prêt à rivaliser avec Dieudonné, pour le talent en maths, je n'ai pas cette prétention !

Amicalement.

Posted by: RadarX

Alors... surtout pour Alpha, ce message n'était pas particulièrement écrit ni contre toi (Alpha), ni contre Phenomene aussi - vous qui etes les seuls a avoir eu le temps de me répondre : vous avez même donné une réponse partielle a ma question c'est-à-dire confirmer ce que je savais déjà (c'est très important) : le "manque d'intérêt du SOUS-ANNEAU dans les maths d'aujourd'hui". Alors respects les matheux!
J'avais précisé que je ne polémiquais pas; j'aurais du aussi écrire que je n'attaquais personne- ce n'est pas le comportement, que je pense que l'on doit avoir dans un Forum de Culture. J'ai un ton un tout petit peu passionné aussi, ca rend mal des fois!
Pour mon expression de début "arrêtez les gars..." et autres qui semblent... "agressifs" ou tout simplement inappropriés, il n'en est rien en fait. Je pense qu'il y a la un pb de sémantique et de perception et qu'une petite explication de ma part disant le sens que je donnais a mon propos (qui reste la seule valable dans l'absolu) dissiperait tout pb.
Alors, c'est tout juste un ton familier... de camaraderie que j'ai essayé d'employer. Evidemment je l'ai utilisé, ce ton, pour exprimer mes propos; comme l'aurait fait un camarade, face à vous, qui vous parlerait en vous tapotant le dos... J'avais bien compris que Alpha n'avait pas trop cherché, et aussi bien le sens bien relatif "du manque d'intérêt des sous anneau et du caractère difficile du problème..." qu’a avancé Pheno.
Bref! Soigner mon expression??? Du moment qu'il n'y a pas INTENTION (d'être désagréable) je ne pense pas qu'il y a lieu de le faire; mais bon je ferai quand même attention dans la suite!

Par ailleurs, mon message soulevait juste un problème plutôt "épistémologique" en passant. Doit on étudier telle chose ou pas, développer tel problème ou pas? J'ai une vision des Maths qu'illustre le message de Pheno que j'ai bien lu et son article sur Grothendieck et ses professeurs. "Tout est potentiellement utile"

Pour ne pas trop développer, je suis de ceux qui penchent pour l’universalité des maths ; et la universelle signifie universelle au sens le plus littéral du terme. C'est-à-dire les maths comme manière et moyen (outils absolu entre autre : au moins la philo aussi) de penser le monde (donc le tout) , de découvrir les vérités du monde ; du monde aussi bien sensible, qu’insensible ou abstrait. Car sait-on jamais, pour peu que le sensible et l’insensible interagissent ( ce qui est fort probable, je dirai même acquis), des études de «l’inexistant », des notions a l’abstraction très poussées… pour ainsi dire aussi de notions apparemment dénuées de tout intérêt peuvent nous permettre (en fin d’analyse) en retombant sur nos pieds, de mieux comprendre la réalité sensible ou de résoudre des problèmes très utiles d’aujourd’hui. C’est comme qui irait étudier une comète ou même un astre extra galactique (ces choses qui a premiere vue n'ont rien a avoir avec la terre), ou encore le rayonnement fossile de l’univers, pour mieux connaître la terre , ou bien d’où nous venons.
Ca c’est le coté « je passe tout au peigne fin » et vraiment tout. Qu’en pensez vous ?

Un deuxième aspect qui n’en est pas moins intéressant est celui du Mathematicien-Artiste tel qu’on a connu les artistes peintres ou pour une comparaison plus appropriée, les philosophes artistes comme Nietzsche (il était inactuel laissait –il entendre et ses propos, une pensée d’alors mais pour le futur). Dans ce cas l’œuvre devient inspiration. On s’abandonne a tout ce qui nous attire ; on explore et expose tout ce qu’on voit ou qui nous inspire de la réflexion.
Grothendieck, je pense, en « était » un ! « J’intègre une fonction a valeur réelle. Quelle est élégante et puissante cette théorie qui me permet de faire cela ! Mais c’est un evn (esp vect normé) IR, et même une evt (esp vect topo), et même mieux un anneau ou un groupe topologique. Quelle puissance et quel haut degré d’élégance acquerrai-je en me dotant de moyens d'intégrer carrément sur un groupe topologique (ou même un monoïde topologique) ????? Allez au travail!» a-t-il du peut-être penser. L’esprit dans toute sa puissance en action !
Autre application de cet aspect artiste qui en rajoute à l’universalité de la discipline, pourrait être l’étude de l’être humain lui-même. L’Oeuvre très inspirée (cad très motivée par l’inspiration de l’artiste) de Van Gogh permet aujourd’hui d’inférer sur sa psychologie, sur son état psychique. En le comprenant donc bien a travers ses tableaux pris dans le contexte de l’époque (utiles ou pas, significatifs ou pas pour l’époque), on comprend une manière d’être, de penser de l’esprit humain, sa manière de travailler et de se comporter
Ainsi, par Grothendieck, on a une illustration de ce que peut produire un esprit humain, muni de l’axiome du choix ; et la les maths sont une jauge pour l’esprit humain !
Allez ne nous étalons pas plus. Dites moi ce que vous pensez de cette vision philosophique des maths, de l’investissement dans les maths. SI VOUS AVEZ LE TEMPS, CELA VA S’EN DIRE !

Je précise que malgré cette approche, je n’ai pas les moyens de m’investir de cette manière. Pas encore les connaissances nécessaires et surtout pas cette indépendance vis-à-vis du matériel de la nécessité de subvenir a certains besoins dans cette société. Mais certains Professeurs pourraient le faire !

Pour finir, je n’insisterais pas et reviendrais a des sujets vraiment mathématiques si vous estimez que ce forum n’est fait pour parler de ca.

Mes respects a tous!

RadarX

Posted by: phenomene

Cette discussion est très intéressante, et si nous défendons avec fougue et passion nos points de vue, tout le monde sera d'accord je pense pour ne pas y voir d'aggressivité à l'encontre des personnes.

Nous sommes d'accord pour condamner une approche utilitariste des mathématiques. C'est hélas une tendance qui se répand, surtout parmi nos gouvernants, qui ont la vue courte et ne misent que sur la technologie et l'innovation au détriment de la recherche fondamentale. Faire des mathématiques en voulant à tout prix vouloir les appliquer immédiatement, c'est stupide.
Ce n'était pas le sens de mon message. La question est : pour un mathématicien, dans quelle direction chercher ? Quels sont les problèmes intéressants à creuser ? S'agit-il d'aller au hasard dans n'importe quelle direction ? Si l'on fait cela, on risque de s'embarquer dans des voies stériles, de bâtir un formalisme fort complexe pour développer une mathématique très pauvre en résultats : beaucoup de définitions pour très peu de théorèmes !
On présente dans l'enseignement, depuis la fameuse époque dite des "maths modernes", les structures algébriques d'un point de vue abstrait : groupes, anneaux, corps, modules, espaces vectoriels, etc. Avec un peu de chance on a droit à des exemples issus des mathématiques de tous les jours, ce qui permet d'y voir plus clair. Bien sûr, dégager ces concepts de structures est très profond, cela permet d'avoir des théorèmes généraux.
Mais lorsque j'étais élève, je me demandais : pourquoi étudie-t-on ces structures et pas d'autres ? Pourquoi la première loi d'un anneau est-elle toujours commutative ? Que se passe-t-il si l'on retire cet axiome ? Ou pourquoi n'étudie-t-on pas des structures ayant trois lois internes et deux lois externes, vérifiant des axiomes exotiques ?
Réponse : parce qu'elles ne mènent, selon les connaissances actuelles, à rien d'intéressant. On n'a pas d'exemple de telles structures en action. Elles semblent trop compliquées pour en tirer le moindre théorème un tantinet puissant sans faire des efforts démesurés.
Alors, les mathématiciens ne cheminent pas au hasard. Ils fouillent là où ils ont l'intuition qu'il y a de la matière à creuser, et sont en cela très sensibles à leur environnement culturel. La source principale de leur travail, ce sont les questions que se pose l'ensemble de la communauté mathématique ; les nouveaux concepts seront développés pour bien poser ces problèmes et les résoudre. Parmi ces questions, certaines sont même externes aux mathématiques : puisque , ce qui est incompréhensible, le monde est compréhensible, c'est-à-dire que la physique utilise beaucoup de mathématiques, nos amis les physiciens nous posent une foule de questions intéressantes. Sans Dirac et sa "fonction" absurde, vérifiant $\delta(x)=0\mbox{ si }x\neq 0,\quad \delta(0)=+\infty,\quad \int_{\mathbb{R}}\delta=1$ , Laurent Schwartz n'aurait pas inventé les distributions. Mais ces dernières sont un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle contemporaine, elles ne servent pas qu'aux physiciens !
Il est vrai qu'on peut passer à côté de l'intérêt de certaines parties des mathématiques. L'arithmétique, par exemple, a fait un retour en force avec le développement de l'informatique (bon, la théorie des nombres n'avait pas cessé de passionner les gens non plus hein).
Il est aussi vrai qu'un réflexe du mathématicien, lorsqu'il a un résultat fort à sa disposition, est de se demander dans quelle mesure il peut le généraliser... pour pouvoir l'appliquer ailleurs ! Quand on réalise que la formule du binôme n'est pas vraie que pour les nombres complexes, mais pour n'importe quels éléments d'un anneau qui commutent, on peut l'appliquer dans des tas de situations variées. Mais généraliser pour généraliser, dans des directions stériles qui ne donneront aucun théorème, ça n'intéresse pas grand monde.

Même si l'on fait, selon le mot de Jacobi (repris par Dieudonné), des mathématiques pour "l'honneur de l'esprit humain" et non pour assurer la sécurité de vos transactions sur internet ou tout autre application utilitaire, l'"esprit humain", justement, est exigeant quant aux sujets sur lesquels il se donne la peine de se fatiguer.

Ajout : En passant, tu as été amené à étudier le concept de sous-anneau engendré car tu y as été confronté dans un problème ! Comme quoi nos points de vue ne sont peut-être pas si opposés (et il est exagéré de dire qu'on n'a jamais à étudier un sous-anneau c'est vrai, c'est une structure plus utile que le magma non associatif

Posted by: RadarX

Voila d'ou m'est venu cette envie de vouloir avoir une description generale d'un sous anneau. si cela pose un probleme, on peut peut-etre le faire dans le cas particulier suivant?

A = C[X,Y] et B = [t^2, t^3] le sous-anneau de C[t] engendré par t^2, et t^3.
Montrer que les monomes 1 et t(puissance j) pour j >= 2 forment une base de B comme C-ev.
Merci.

RadarX.

Posted by: phenomene

Citation:

Posté par RadarX

Voila d'ou m'est venu cette envie de vouloir avoir une description generale d'un sous anneau. si cela pose un probleme, on peut peut-etre le faire dans le cas particulier suivant?

A = C[X,Y] et B = [t^2, t^3] le sous-anneau de C[t] engendré par t^2, et t^3.
Montrer que les monomes 1 et t(puissance j) pour j >= 2 forment une base de B comme C-ev.
Merci.

RadarX.

D'accord (je suppose qu'il faut lire $\mathbb{C}[t^2,t^3]$ , le $\mathbb{C}$ a dû sauter). Dans ce cas, on a deux structures qui se superposent : $\mathbb{C}[t]$ est à la fois un anneau et un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel (les multiplications externe et interne sont de plus compatibles, bref, on a une structure d'algèbre). De plus, le corps de scalaires $\mathbb{C}$ est "inclus" dans $\mathbb{C}[t]$ (en l'identifiant aux polynômes constants), si bien que le sous-anneau engendré par une partie $S$ peut aussi être vu comme la sous-algèbre engendrée par cette partie. Bon, cela ne nous avance pas beaucoup pour déterminer ce sous-anneau. Par contre, remarquons qu'il est plus agréable de le décrire en tant qu'espace vectoriel qu'en tant qu'anneau (d'où le but de l'exercice) !

Venons-en à la question posée. Dans ce cas particulier, il n'est pas difficile de voir que $B=\mathbb{C}[t^2,t^3]$ est formé de l'ensemble des polynômes de $\mathbb{C}[t]$ de la forme :
$\displaystyle{\limits{\sum_{p\geq 0,q\geq 0}a_{p,q}t^{2p+3q}}}$ ,
où la famille $(a_{p,q})_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}$ est presque nulle.
En effet, $B$ doit contenir au moins ces bêtes-là puisqu'elles s'obtiennent à partir de sommes et produits de $t^2$ et $t^3$ (en convenant qu'un produit vide est égal à $1$ , ce qui permet de récupérer les polynômes constants). Maintenant, il est facile de vérifier que l'ensemble de nos bébêtes est un sous-groupe stable par produit, bref, un sous-anneau de $\mathbb{C}[t]$ ; c'est donc forcément le plus petit qui contient $t^2$ et $t^3$ .

Il reste à montrer que la famille $\mathcal{B}=(1,t^j,j\geq 2)$ est une base de $B$ . Elle est notoirement libre et il s'agit de prouver qu'elle est génératrice de $B$ . Finalement, on doit montrer que l'ensemble des entiers naturels $n$ qui peuvent s'écrire $n=2p+3q$ avec $p$ et $q$ entiers naturels est l'ensemble $\mathbb{N}\setminus\{1\}$ . Le cas $n=0$ est trivial. Pour $n>1$ , il s'agit de résoudre dans $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ l'équation d'inconnues $p$ et $q$ :
$2p+3q=n$ .
On sait résoudre ce genre d'équations dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ (elle ont des solutions car $n$ est un multiple du PGCD de $2$ et $3$ ), et une fois qu'on en a explicité les solutions, il n'est pas difficile de déterminer celles qui sont des couples d'entiers positifs. On voit que ça marche dès que $n\geq 2$ mais pas pour $n=1$ . Les détails sont laissés au lecteur.

Amicalement.

Posted by: RadarX

Il faut que je detaille ta reponse (Pheno) qui semble correcte. Et elle semble aussi traiter toute la suite du probleme que je voulais rigoureusement eclaircir.
Tu auras des objections si qq chose ne me parait pas clair, mais je sens que ca ne manquera pas de m'avancer sinon
Merci pour la contribution.

RadarX.

PS: Au fait Pheno, j'ai vu que t'etais de Paris, ne serais-tu pas etudiant (ou chercheur) a Paris VI (Jussieu) par hasard?

Posted by: phenomene

Un truc qui n'est pas très clair dans ce que je raconte depuis le début de ce fil, c'est si je considère les anneaux comme unifères ou pas. Dans le temps, on n'imposait pas à la multiplication d'avoir un élément neutre dans la définition d'un anneau, mais maintenant on trouve plutôt une définition exigeant l'existence d'un élément-unité (pour continuer sur ma lancée, disons qu'on a réalisé que les "anneaux" sans élément-unité n'avait "aucun intérêt"

). J'adopte cette nouvelle définition, mais pour que ce que j'ai dit soit correct (notamment lorsque j'ai décrit le sous-anneau engendré par une partie), il faut convenir qu'un produit vide (le produit de $n$ éléments de l'anneau pour $n=0$ ) est égal à l'élément-unité $1$ ; sinon il faut ajouter explicitement l'unité dans ma description sous-anneau engendré.

Citation:

Posté par RadarX

PS: Au fait Pheno, j'ai vu que t'etais de Paris, ne serais-tu pas etudiant (ou chercheur) a Paris VI (Jussieu) par hasard?

J'y ai été en effet, mais je n'y suis plus.