Sophie Germain

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Posted by: tize

Bonjour a tous,

voilà, j'ai un petit probleme, je suis en train de démontrer le théorème de Sophie Germain : si p est un nombre premier impair tel que 2p+1 est aussi premier alors il n'existe pas de triplet (x,y,z)\in\mathbb{Z}^3 avec xyz\neq 0 [p] et x^p+y^p+z^p=0.
On me dit que l'on peut supposer que x, y et z sont deux à deux premiers entre eux (c'est evident) ensuite on me demande de montrer que y+z et \sum\limits_{k=0}^{p-1}(-z)^{p-1-k}y^k sont premiers entre eux. C'est là que je bloque, c'est peut être (et même sans doute) très simple mais je n'arrive pas à avoir les idées clairs en ce moment. Pourriez vous m'aider
Juste une idée, je ne sais pas si elle sert, on peut remarquer que :
(y+z)\sum\limits_{k=0}^{p-1}(-z)^{p-1-k}y^k=y^p+z^p (toujours vrai dès que p est impair ce qui est le cas ici)


Posted by: tize

Bon ... ba soit c'est plus difficile que ce que je croyais... soit j'ai fait un bide


Posted by: ramanujo

Tu peux demontrer ce resultat par l'absurde.
En effet ta remaque est judicieuse...
Supposons que A=y+z et B=\sum\limits_{k=0}^{p-1}{-z}^{p-1-k}y^k ne soient pas preiers entre eux alors ils ont un diviseur premier que l'on va appeler D.
Avec ta remarque on a A*B=y^{p}+z^{p}=(-x)^{p} on en deduit que D divise x et comme D divise z+y.Alors on obtient:(modulo D)
B*y^{k} est congru à \sum\limits_{k=0}^{p-1}{y}^{p-1} qui est congru à p*y^{p-1} qui est divisible par D .
On a donc soit:
1-D divise p*y^{p-1}.D'apres gauss on a soit D divise p d'ou D=p (deux nombres premiers ...) mais alors p divise x absurde....
2-D divise y mais alors D divise x et y qui sont premiers entre eux...
Dans tous les cas D=1


Posted by: tize

Merci !
J'ai tout compris merci beaucoup !


Posted by: mathinfo

Bonjour,
Je suis entrain d'essayer de comprendre la démonstration du théorème de Sophie Germain, mais j'ai trouvé des difficultés à le comprendre.
Pourriez-vous me l'expliquer s'il vous plait?

Merci










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