somme termes

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Posted by: Non inscrit

bonjour,

si je dis: 1+2 = 3
4+5+6 = 7+8
9+10+11+12 = 13+14+15

peut on poursuivre et approuver cela a l'infini?

merçi


Posted by: sbz

essaye d'exprimer sous forme d'une somme ....


Posted by: Chimerade

On part de la constatation que :

Tirage 1 : 1+2 = 3
Tirage 2 : 4+5+6 = 7+8
Tirage 3 : 9+10+11+12 = 13+14+15

Et on se pose la question : est-ce que ça va continuer longtemps ?

Au premier tirage on prend un groupe de 3 nombres entiers, à partir de 1, que l’on sépare en deux parties : un groupe de 2 nombres et un groupe de 1 nombre
Au premier tirage on prend un groupe de 1+2*1 nombres entiers, à partir de 1, que l’on sépare en deux parties : un groupe de 1+1 nombres et un groupe de 1 nombre

Au deuxième tirage on prend un groupe de 5 nombres entiers, à partir du premier entier non encore pris, que l’on sépare en deux parties : un groupe de 3 nombres et un groupe de 2 nombres
Au deuxième tirage on prend un groupe de 1+2*2 nombres entiers, à partir du premier entier non encore pris, que l’on sépare en deux parties : un groupe de 1+2 nombres et un groupe de 2 nombres

Au troisième tirage on prend un groupe de 7 nombres entiers, à partir du premier entier non encore pris, que l’on sépare en deux parties : un groupe de 4 nombres et un groupe de 3 nombres
Au troisième tirage on prend un groupe de 1+2*3 nombres entiers, à partir du premier entier non encore pris, que l’on sépare en deux parties : un groupe de 1+3 nombres et un groupe de 3 nombres

Nous sommes donc amenés à supposer qu’au n-ième tirage, on prend un groupe de 1+2*n nombres entiers, à partir du premier entier non encore pris, que l’on sépare en deux parties : un groupe de 1+n nombres et un groupe de n nombres.

Au (k+1)-ième tirage, on va donc prendre un groupe de 2*(k+1)+1 nombres. Pour savoir quel est le premier de ces nombres, il suffit de faire la somme des nombres tirés aux premier, deuxième,…,k-ième tirage soit :

\Large \sum_{i=1}^{k} (1+2\times i) = k + 2\times (\sum_{i=1}^{k} (i)) = k+2\times \frac{k\times(k+1)}{2}=k+k\times (k+1)=k\times(k+2)

Le premier nombre sera donc : \Large k\times(k+2)+1 soit \Large (k+1)^2

Le premier groupe sera de longueur 1+(k+1) soit k+2 nombres ; il ira donc de \Large (k+1)^2 à \Large (k+1)^2+k+1. Sa somme sera donc : \Large S_1=\frac{k+2}{2}\times (2(k+1)^2+k+1)=\frac{(k+2)\times (k+1)\times (2k+3)}{2}
Le deuxième groupe sera de longueur (k+1) nombres ; il ira de \Large (k+1)^2+k+1+1 à \Large (k+1)^2+k+1+k+1. Sa somme sera donc : \Large S_2=(\frac{k+1}{2})((k+1)^2+k+1+1+(k+1)^2+k+1+k+1) =\frac{(k+1)\times(2*(k+1)^2+3k+4)}{2}
\Large S_2=\frac{(k+1)\times (2k^2+7k+6)}{2}=\frac{(k+1)\times (2k+3)\times (k+2)}{2}=S_1
CQFD


Posted by: Zebulon

Bonsoir,
très joli problème et félicitations à Chimerade pour la solution!!!
C'est beau les Maths:se poser des questions... et en plus en trouver les solutions!
Zeb.










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