Mathématiques

Somme
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Posted by: pHi

Bonjour tlm
jai un petit probleme a resoudre
jai pratiquement terminé mais je voulais avoir votre avis

Soit n un entier non nul.
Calculer la dérivée n-ième de la fonction f définie sur R par
f(x)=(x^n)*((1-x)^n)
En déduire la valeur de la somme Sn=Somme pour k allant de 0 a n de : (Cn,k) ²

J'ai trouvé une expression de la dérivée n-ième de f que je note F
Je trouve F(x)=n!*Somme pour k allant de 0 a n de :
(Cn,k)²*((-x)^n-k)*(1-x)^k
Pour exprimer Sn jai voulu evaluer mon expression en un point mais je trouve pas de resultat convenable

Merci davance :)

Posted by: yos

Pour x= 1/2 ?

Posted by: pHi

oui javais essayé pour x=1/2 mais jai un probleme avec un (-1)^n-k qui reste dans ma somme

Posted by: tize

$3$f^{(n)}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}(C_{n}^{k})^2(-x)^{n-k}(1-x)^k=(-x)^n\sum\limits_{k=0}^{n}(C_{n}^{k})^2(1-\frac{1}{x})^k$
On peut remarquer maintenant que $3$\frac{f^{(n)}(x)}{(-x)^n}\quad\longrightarrow\limits_{x\to\infty}\quad S_n$
Mais en ecrivant par puissances décroissante :
$3$f(x)=x^n(1-x)^n=(-1)^nx^{2n}+....$ donc
$3$f^{(n)}(x)=(-1)^n\;\frac{(2n)!}{n!}x^n+....$ d'ou:
$3$\frac{f^{(n)}(x)}{(-x)^n}\quad\longrightarrow\limits_{x\to\infty}\quad \frac{(2n)!}{n!}=S_n$

En espérant ne pas m'être trompé...qu'en pensez-vous ?

Posted by: yos

Il doit manquer un n! dans les sommes de la première ligne. Ca change un peu le résultat final. Sinon c'est bien joué.

Posted by: tize

Citation:

Posté par yos

Il doit manquer un n! dans les sommes de la première ligne. Ca change un peu le résultat final. Sinon c'est bien joué.

A oui tu as raison, cela donne plutôt ça :

$3$f^{(n)}(x)=n!\sum\limits_{k=0}^{n}(C_{n}^{k})^2( -x)^{n-k}(1-x)^k=n!(-x)^n\sum\limits_{k=0}^{n}(C_{n}^{k})^2(1-\frac{1}{x})^k$
On peut remarquer maintenant que $3$\frac{f^{(n)}(x)}{n!(-x)^n}\quad\longrightarrow\limits_{x\to\infty}\quad S_n$
Mais en ecrivant par puissances décroissante :
$3$f(x)=x^n(1-x)^n=(-1)^nx^{2n}+....$ donc
$3$f^{(n)}(x)=(-1)^n\;\frac{(2n)!}{n!}x^n+...$ . d'ou:
$3$\frac{f^{(n)}(x)}{n!(-x)^n}\quad\longrightarrow\limits_{x\to\infty}\quad \frac{(2n)!}{(n!)^2}=S_n$

Merci
Cordialement
José

Posted by: pHi

bien joué en effet
merci :à)
pour completer la reponse est donc C2n,n

Posted by: Flodelarab

"Somme" ? "Phi"?

Pkoi j'ai tout d'un coup envie d'aller m'acheter un volet roulant ???

Je croyais que les suggestions subbliminales etaient interdites ...