Bonjour à tous,
je bloque sur une somme pourtant pas bien compliqué à mon avis ... si vous avez des idées, je suis prenneur
Montrer que
merci d'avance!
Ciao
Posted by: abcd22
Bonsoir,
Il suffit de remarquer que la somme est la partie réelle de .
Posted by: bitonio
En effet .... euh peux tu me donner une piste je vois pas comment continuer ... merci d'avance!
Posted by: xon
Salut,
je pense que tu peux calculer en mettant en facteur histoire de faire apparaitre un cosinus et tu prends la partie réelle et tu dois plus être loin du compte
Posted by: Zebulon
Bonsoir, pour le membre de gauche :
dont la partie réelle est .
Posted by: bitonio
Au risque de paraitre legerement bete, je ne vois toujours pas comment m'en sortir ...
J'aimerai juste une piste, pas la solution... merci d'avance
Posted by: bitonio
ah non en fait je crois c'est bon ! j'avais pas vu la formule de trigo
merci bcp !!
Posted by: Nicolas_75
Bonjour,
Une récurrence est également possible, à condition de considérer de front :
Montrons la première partie de l'hérédité, celle relative à la première formule.
La seconde partie de l'hérédité (avec les sinus) se montre de manière similaire.
.
en mettant en facteur 
histoire de faire apparaitre un cosinus et tu prends la partie réelle et tu dois plus être loin du compte
![(1+e^{i\theta})^n=\sum_{k=0}^n{n\choose{k}}e^{ki{\ theta}}<br />
\\=\sum_{k=0}^n{n\choose{k}}[{cos(k\theta)+isin(k\theta)}]](http://www.maths-forum.com/images/latex/a6cb071d2b8b24f211071441c3aadf7e.gif "(1+e^{i\theta})^n=\sum_{k=0}^n{n\choose{k}}e^{ki{\ theta}}<br />
\\=\sum_{k=0}^n{n\choose{k}}[{cos(k\theta)+isin(k\theta)}]")
.
![\begin{array}{cl}<br />
& \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}\cos k\theta\\<br />
=&\displaystyle 1+\sum_{k=\fbox{1}}^{\fbox{n}}\left[{n\choose k-1}+{n\choose k}\right]\cos k\theta+\cos(n+1)\theta\\<br />
=&\displaystyle 1+\sum_{k=1}^n{n\choose k-1}\cos k\theta+\sum_{k=1}^n{n\choose k}\cos k\theta+\cos(n+1)\theta\\<br />
=&\displaystyle \sum_{k=1}^{\fbox{n+1}}{n\choose k-1}\cos k\theta+\sum_{k=\fbox{0}}^n{n\choose k}\cos k\theta\\<br />
=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cos (k+1)\theta+\sum_{k=0}^n{n\choose k}\cos k\theta\\<br />
=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\left[\cos(k+1)\theta+\cos k\theta\right]\\<br />
=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}2\cos\left(k+\frac{1}{2}\right)\theta\cos\frac{\ theta}{2}\\<br />
=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}2\left(\cos k\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin k\theta\sin\frac{\theta}{2}\right)\cos\frac{\theta }{2}\\<br />
=&\displaystyle 2\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\sum_{k=0 }^n{n\choose k}\cos k\theta-2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}\sum_{k=0 }^n{n\choose k}\sin k\theta\\<br />
=&\displaystyle 2\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}2^n\cos\f rac{n\theta}{2}\cos^n\frac{\theta}{2}-2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}2^n\sin\f rac{n\theta}{2}\cos^n\frac{\theta}{2}\\<br />
=&\displaystyle 2^{n+1}\left(\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{n\theta }{2}-\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{n\theta}{2}\right)\c os^{n+1}\frac{\theta}{2}\\<br />
=&\displaystyle 2^{n+1}\cos\frac{(n+1)\theta}{2}\cos^{n+1}\frac{\t heta}{2}\\<br />
\end{array}](http://www.maths-forum.com/images/latex/9357ca2e0f46fb511a672b64951d3c6c.gif "\begin{array}{cl}<br />
& \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}\cos k\theta\\<br />
=&\displaystyle 1+\sum_{k=\fbox{1}}^{\fbox{n}}\left[{n\choose k-1}+{n\choose k}\right]\cos k\theta+\cos(n+1)\theta\\<br />
=&\displaystyle 1+\sum_{k=1}^n{n\choose k-1}\cos k\theta+\sum_{k=1}^n{n\choose k}\cos k\theta+\cos(n+1)\theta\\<br />
=&\displaystyle \sum_{k=1}^{\fbox{n+1}}{n\choose k-1}\cos k\theta+\sum_{k=\fbox{0}}^n{n\choose k}\cos k\theta\\<br />
=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cos (k+1)\theta+\sum_{k=0}^n{n\choose k}\cos k\theta\\<br />
=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\left[\cos(k+1)\theta+\cos k\theta\right]\\<br />
=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}2\cos\left(k+\frac{1}{2}\right)\theta\cos\frac{\ theta}{2}\\<br />
=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}2\left(\cos k\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin k\theta\sin\frac{\theta}{2}\right)\cos\frac{\theta }{2}\\<br />
=&\displaystyle 2\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\sum_{k=0 }^n{n\choose k}\cos k\theta-2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}\sum_{k=0 }^n{n\choose k}\sin k\theta\\<br />
=&\displaystyle 2\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}2^n\cos\f rac{n\theta}{2}\cos^n\frac{\theta}{2}-2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}2^n\sin\f rac{n\theta}{2}\cos^n\frac{\theta}{2}\\<br />
=&\displaystyle 2^{n+1}\left(\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{n\theta }{2}-\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{n\theta}{2}\right)\c os^{n+1}\frac{\theta}{2}\\<br />
=&\displaystyle 2^{n+1}\cos\frac{(n+1)\theta}{2}\cos^{n+1}\frac{\t heta}{2}\\<br />
\end{array}")