une somme

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Posted by: nekros

Salutations,

Soit 3$(a,b) \in (\mathbb{N^*})^2 fixé.

On note pour 3$n \in \mathbb{N^*} :

\fbox{3$S_n = \sum_{i=1}^{an} \sum_{j=1}^{bn} \frac{(-1)^{i+j}}{i+j}}

Calculer la limite de 3$S_n lorsque 3$n tend ver l'infini.

A+

PS : c'est bien 2$a \times n et 2$b \times n


Posted by: El_Gato

Déjà pour a = b = 1 on a, sauf erreur:
\displaystyle S_n = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \cdots + \frac{n(-1)^{n+1}}{n+1} + (-1)^n(\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n +n}) .

Doit y avoir une astuce dans l'exo que j'ai pas vue...

La réponse générale doit probablement dépendre du rapport \displaystyle \frac{a}{b}.

PS: Eh Nekros, yoda il aurait pas dit ta citation comme ça. Mais plutôt: "Communs sont commencement et fin, circonférence sur la". Désolée.


Posted by: nekros

Citation:
Posté par El_Gato
PS: Eh Nekros, yoda il aurait pas dit ta citation comme ça. Mais plutôt: "Communs sont commencement et fin, circonférence sur la". Désolée.


C'est vrai, "les paroles de Yoda, telles auraient été"

A+


Posted by: nekros

Et en remarquant que 3$\frac{1}{i+j}=\int_0^1 t^{i+j-1} dt ?



A+


Posted by: aviateurpilot

4$\ S_n=\bigsum_{i=1}^{an}\int_0^1-t^i\(\bigsum_{j=0}^{bn-1}t^j\)=\int_0^1\(-\frac{(t^{bn}-1)(t^{an-1}-t)}{(t-1)^2}\)?
sauf erreur


Posted by: nekros

Citation:
Posté par aviateurpilot
4$\ S_n=\bigsum_{i=1}^{an}\int_0^1-t^i\(\bigsum_{j=0}^{bn-1}t^j\)=\int_0^1\(-\frac{(t^{bn}-1)(t^{an-1}-t)}{(t-1)^2}\)?
sauf erreur


Non, désolé, à moins que la valeur de l'intégrale soit la limite attendue...
Que vaut cette intégrale ?

A+


Posted by: aviateurpilot

on a 4$\frac{1}{i+j}=\int_0^1t^{i+j-1}dt
donc 4$\frac{(-1)^{i+j}}{i+j}=\int_0^1(-1)^{i+j}t^{i+j-1}dt=\int_0^1(-1)^{i+j-1}(-1)t^{i+j-1}dt=\int_0^1 -(-t)^{i+j-1}dt
par suite 4$\ S_n=\bigsum_{i=1}^{an}\int_0^1-(-t)^i\(\bigsum_{j=1}^{bn}(-t)^{j-1}\)=\bigsum_{i=1}^{an}\int_0^1-(-t)^i\(\bigsum_{j=0}^{bn-1}(-t)^j\)=\int_0^1\(-\frac{((-t)^{bn}-1)((-t)^{an+1}+t)}{(t+1)^2}\)
sauf erreur


Posted by: nekros

Salut,

Pour tout 3$n \in \mathbb{N^*},

3$S_n=\sum_{i=1}^{an} \sum_{j=1}^{bn} (-1)^{i+j} \int_0^1 t^{i+j-1} dt=\int_0^1 (\sum_{i=1}^{an} (-1)^it^i)(\sum_{j=1}^{bn} (-1)^jt^{j-1})dt

Donc 3$S_n=\int_0^1 (-t) \frac{1-(-1)^{an}t^{an}}{1+t} (-1) \frac{1-(-1)^{bn}t^{bn}}{1+t} dt = \int_0^1 \frac{t}{(1+t)^2} (1-(-1)^{an}t^{an}-(-1)^{bn}t^{bn}+(-1)^{an+bn} t^{an+bn}) dt

Or, 3$\int_0^1 \frac{t}{(1+t)^2} dt = ln(2)-\frac{1}{2}

D'autre part, 3$|S_n-\int_0^1 \frac{t}{(1+t)^2} dt|=|\int_0^1 \frac{t}{(1+t)^2}(-(-1)^{an}t^{an}-(-1)^{bn}t^{bn}+(-1)^{an+bn}t^{an+bn}) dt| \le \int_0^1 (t^{an}+t^{bn}+t^{an+bn})dt=\frac{1}{an+1}+\frac{1 }{bn+1}+\frac{1}{an+bn+1} qui tend vers 3$0 quand 3$n tend vers 3$\infty.

On en déduit donc que \fbox{3$\lim_{n \to \infty} S_n=ln(2)-\frac{1}{2}}

A+


Posted by: aviateurpilot

tu as trouvé la meme formule de S_n que moi


Posted by: nekros

Citation:
Posté par aviateurpilot
tu as trouvé la meme formule de S_n que moi


Salut,

Dans le post 6, je t'avais demandé la valeur de l'intégrale

A+


Posted by: El_Gato

C'est marrant que ça ne dépende pas de a/b. J'aurais dit le contraire. Très rigolo comme exo.










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