Somme de Riemann

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Posted by: rifly01

Bonjour,


J'ai un problème avec le calcul de la limite d'une somme de Riemann :
\lim_{n\to +\infty} \displaystyle \sum_{p=n}^{2n} \sin\left(\frac{\pi}{p}\right)

J'ai calculé \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \sum_{p=n}^{2n}\frac{\pi}{p}= \pi \ln 2. On me dit d'utiliser cette somme pour calculer celle qui me pose problème.


Merci d'avance,


Posted by: MathMoiCa

Hello,

Ben tu ne pourrais pas te servir du DL (ordre 1 suffira) de sin(x) quand x tend vers 0 ?

(il faut ptet des conditions pour introduire la limite dans la somme, mais ce n'est pas mon point fort de les trouver ~)


M.


Posted by: tize

Bonsoir,
Sais tu que pour x\geq 0 : x-\frac{x^3}{6}\leq\sin(x)\leq x ?


Posted by: rifly01

Salut,

Cela revient à calculer la même somme que celle que j'avais calculé. Mais est-ce une bonne approximation, a-t-on tout ce qu'il faut pour faire un DL ?



Oui, Oui. Je sais tout ça :)
Merci,


Posted by: MathMoiCa

Eh bien, le terme dans la parenthèse tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Le problème est juste si on a le droit d'inverser limite et somme... Et là, vive le cours


M.


Posted by: tize

Pour ma part, je n'ai pas fait de DL mais un encadrement...et je ne me risquerai pas à faire une somme de DL dont le nombre de termes tend vers l'infini...
Avec l'encadrement que je t'ai donné ça tombe tout seul...je te rappel quand même que \sum\limits_{p>0} \frac{1}{p^3}<\infty et donc...Cauchy...


Posted by: MathMoiCa

Majorer par quelque chose qui converge, OK.
On sait que ça converge.
Mais pour calculer la limite ?



M.


Posted by: tize

Citation:
Posté par MathMoiCa
Majorer par quelque chose qui converge, OK.
On sait que ça converge.
Mais pour calculer la limite ? M.

On ne majore pas par quelque chose qui converge !!!
On encadre par par deux membres dont la différence tend vers 0 grâce au critère de Cauchy des séries convergentes!










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