Mathématiques - Somme de Riemann

Somme de Riemann
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Posted by: marius

Bonjour,

Voilà, je dois calculer les limites des suites (Un) suivantes:

a) Un = [1/n] x [ (2)^(1/n) + (4)^(1/n) + ... + (2^n)^(1/n) ]

b) Un = [ ( (2n)! ) / (n! * n^n) ]^(1/n)

Pour cela, je dois utiliser des suites de Riemann. (On a déjà fait deux calculs de limites de suites dans ce chapitre, et on a utilisé les suites de Riemann)

Pour le moment, j'ai juste transformé la suite du a) en:

Un = [1/n] x Sum (k=1 -> n) (2^k)^(1/n)

Mais, je ne comprends pas qu'est-ce qu'il faut faire après ?
Sur les autres exemples, on a transformés les sommes en sommes de 1/(1+v^2) ou encore v/(1+v^2)
Puis on pausé f : t -> 1/(1+v^2)
Et on calculait: Intégrale (de 0 à 1) de f(t) dt

Comment faut-il faire ici ?
Merci d'avance
Marius

PS: Désolé, je ne sais pas comment on écris avec les "racines n-ième", les "intégrales" ni les Sigma de la somme...

Posted by: Pythales

La 1ère est la limite pour $n \rightarrow \infty$ de $\frac{1}{n}\sum_1^n2^{\frac{k}{n}$ c.a.d $\int_0^12^xdx=\frac{1}{ln2}$
Pour la 2ème, $lnU_n=\frac{1}{n}ln\frac{(2n)!}{n!n^n}=\frac{1}{n} ln\frac{(n+1)(n+2)...(2n)}{n^n}=\frac{1}{n}\sum_1^ nln(1+\frac{k}{n})$
dont la limite est $\int_0^1ln(1+x)dx$
Sauf erreur, on doit trouver $U_n \rightarrow \frac{4}{e}$

Posted by: marius

Oki Oki !!
Donc pour le premier, il ne me rester plus qu'à mettre la racine n-ième en puissance et avoir k/n.
Bon, je crois que j'ai finalement compris les suites de Riemann

Encore merci
A+
Marius