Mathématiques - somme de nombres

somme de nombres
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Posted by: kagoune

que vaut cette somme :
$\sum_{k=1}^{\varphi(n)} k$ avec k et n premier entre eux?
à l'aide d'exemple je pense que c'est égal à $\frac n2$ mais je n'arrive pas à le démontrer
avec $\varphi(n)$ la fonction d'Euler
merci de votre aide

Posted by: aviateurpilot

tu veux calculer $4$ S_1=\bigsum_{k=1\\ pgcd(k,n)=1}^{\fbox{\varphi(n)}}k$ ??
ou bien $4$ S_2=\bigsum_{k=1\\ pgcd(k,n)=1}^{\fbox{n}}k$

pour $S_2$ :
on a $S_2=\frac{1}{2}$\bigsum_{k\in[|1,n|]\\ pgcd(k,n)=1}k+\bigsum_{k\in[|1,n|]\\ pgcd(k,n)=1}n-k$=\frac{1}{2}\bigsum_{k\in[|1,n|]\\ pgcd(k,n)=1}n=\frac{n\varphi(n)}2$

Posted by: aviateurpilot

pour $S_1$
j vai traiter les cas particulier $n=p^a$ avec $p$ premier, apres je chercherai si on peux generaliser.
1erment on a $\varphi(p^a)=p^{a-1}(p-1)$
il est evident que $S_2=\bigsum_{k=1,p\not|k}^{p^{a-1}(p-1)}$
donc $S_2=\bigsum_{j=1}^{p-1}\bigsum_{k=1,p|(k-j)}^{p^{a-1}(p-1)}k$
avec
$\bigsum_{k=1,p|(k-j)}^{p^{a-1}(p-1)}k$
$=\bigsum_{h=0}^{p^{a-2}(p-1)-1}hp+j$
$=jp^{a-2}(p-1)+\frac{p^{a-1}(p-1)(p^{a-2}(p-1)-1)}{2}$
et donc :
$S_2=\bigsum_{j=1}^{p-1}\bigsum_{k=1,p|(k-j)}^{p^{a-1}(p-1)}k$
$=\frac{p^{2a-3}(p-1)^3}{2}$

tu peux refaire ca, car il se peux que j'ai fait une erreur de calcule puisque je ne suis pas maple

.

mtn je peuse qu'il faut trouver une relation entre $S_1(ab),S_1(a),S_1(b) si pgcd(a,b)=1$ s'il y a une relation, alors le pobleme est resolu,
par exemple si $S_1(ab)=S_1(a)S_1(b)$ (je ne di pas que c'est vrai)
alors $S_1(n)=\bigprod_{p|n,p\ premier}S_1(p^{v_p(n)})$ sachant que $p^{v_p(n)}|n$ et $p^{v_p(n)+1}\not|n$

a++