Solution unique à f(x)=x si f'<1

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Posted by: fdoo

Bonjour,

Je souhaiterais avoir votre avis sur la démonstration suivante

Soit f définie et continue sur I=[0,1], dérivable sur ]0,1[, stable f(I)cI, et enfin f'(x)<1 pour tout x de I
Montrer que l'équation f(x)=x admet une solution unique

On ne peut pas appliquer le TVI : f' peut être positive ou négative

Je pense pouvoir montrer par l'absurde que 2 solutions sont impossibles
Soient x1 et x2 solutions de f(x)=x, donc x1=f(x1) et x2=f(x2). D'après le théorème des accroissements finis, il existe c entre x1 et x2 tel que f'(c)=f(x2)-f(x1)/x2-x1=1, ce qui est impossible par hypothèse (f'<1)

Pour montrer qu'il existe au moins une solution à f(x)=x :
f(I)cI => f(0)>=0 et f(1)<=1
Puisque f est continue, elle coupe nécessairement la bissectrice y=x au moins 1 fois

Cette démonstration vous semble-t-elle valable ? Avez-vous d'autres idées pour la mener à bien ?

Merci !


Posted by: Zebulon

Bonjour,
Citation:
Posté par fdoo
Soient x1 et x2 solutions de f(x)=x, donc x1=f(x1) et x2=f(x2). D'après le théorème des accroissements finis, il existe c entre x1 et x2 tel que f'(c)=f(x2)-f(x1)/x2-x1=1, ce qui est impossible par hypothèse (f'<1)

On même dire directement que pour tous x et y appartenant à I, \Large {f(x)-f(y)\over x-y}&lt;1 (car pour tout x appartenant à I, f'(x)<1) donc \Large f(x)-f(y)&lt;x-y. On en déduit l'unicité.

Citation:
Pour montrer qu'il existe au moins une solution à f(x)=x :
f(I)cI => f(0)>=0 et f(1)<=1

OK.
Citation:
Puisque f est continue, elle coupe nécessairement la bissectrice y=x au moins 1 fois

Ca me semble rapide. J'introduirais g=f-Id et utiliserais le théorème des valeurs intermédiaires.


Posted by: yos

Bonjour.

Citation:
Posté par Zebulon
On même dire directement que pour tous x et y appartenant à I, \Large {f(x)-f(y)\over x-y}&lt;1 (car pour tout x appartenant à I, f'(x)<1) donc \Large f(x)-f(y)&lt;x-y. On en déduit l'unicité.

C'est évident ça Zébulon? L'inégalité des AF utilise le sup des|f'(x)|. Il se pourrait que sup|f '|=1 car on ne dit pas que f ' est continue.
Je pense qu'on doit pouvoir s'en sortir mais à tout prendre, l'argument de fdoo me semble plus sûr.


Posted by: Zebulon

C'est vrai, je pensais que c'était évident mais il faudrait le montrer. Alors autant utiliser le théorème des accroissements finis comme l'a fait fdoo.


Posted by: fdoo

Merci à tous les 2 pour vos avis avisés !










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