Solution maximale équa.diff : ppté de Cauchy mis en cause?

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: max

Bonjour!

J'ai l'ED suivante : xy' - 2y = x²

a) Résoudre ED0
b)En déduire la solution sur chacun des intervalles -oo 0; 0 +oo
c)Recherche des solutions sur R par analyse/synthese

J'ai résolu ces questions sans soucis particulier (après un prolongement en continuité en 0 et l'étude de dérivabilité en 0 il vient qu'il y a une infinité de solutions de l'équation différentielle sur R quelles que soient les valeurs de lambda1 et lambda2, les constantes provenant de la résolution de l'ED sur chacun des intervalles)

Cependant, on peut constater que chaque fonction solution sur R vérifient la solution initiale f(1)=1

L'existence et l'unicité d'une fonction solution vérifiant une condition initiale (Ppté de Cauchy) est elle alors érronée ?

Merci


Posted by: allomomo

Salut,

]0, +\infty[
1 - (E0) : y'=\frac{2}{x}y

Les solutions sont les fonctions de la forme : y(x)=Ax^2, A\in\bb{R}

x^2ln(x) est solution particulière (E). A toi de finir


Posted by: max

Citation:
Posté par allomomo
Salut,

]0, +\infty[
1 - (E0) : y'=\frac{2}{x}y

Les solutions sont les fonctions de la forme : y(x)=Ax^2, A\in\bb{R}

x^2ln(x) est solution particulière (E). A toi de finir

oui oui merci j'ai trouvé tout cela

je n'arrive juste pas à conclure car le probleme de cauchy affirme qu'il n'y a QU'UNE fonction qui passe par f(1)=1 par exemple; aors qu'ici il y en a une infinité

Que conclure? Le probleme de Cauchy est dans l'erreur?


Posted by: allomomo

Bon

f(x)=Ax^2+x^2ln(x) f(1)=A+0=1 => A=1
d'ou f(x)=x^2+x^2ln(x)


Posted by: max

Citation:
Posté par allomomo
Bon

f(x)=Ax^2+x^2ln(x) f(1)=A+0=1 => A=1
d'ou f(x)=x^2+x^2ln(x)

Merci mais je ne suis psa sur que tu comprenns ma question.

Mon prof a tracé plusieurs fonctions solutions de l'équation différentielle, passant toute par f(1)=1.

Il demande donc si cela remet en cause le Pb de Cauchy (UNICITE d'une solution vérifiant f(a)=b)


Posted by: mathelot

bonjour,

le problème de Cauchy est posé pour une équation résoluble en y'
donc de la forme :
y ' = F(x,y) où F est une fonction de R^2 dans R localement lipschitzienne.
Ton équation se scinde en deux problèmes de Cauchy sur deux intervalles disjoints ]- \infty;0[ et ]0;+\infty[
Parfois, on peut raccorder deux solutions pour obtenir une solution maximale,
mais il n'y a plus unicité.


Posted by: max

Citation:
Posté par mathelot
bonjour,

le problème de Cauchy est posé pour une équation résoluble en y'
donc de la forme :
y ' = F(x,y) où F est une fonction de R^2 dans R localement lipschitzienne.
Ton équation se scinde en deux problèmes de Cauchy sur deux intervalles disjoints ]- \infty;0[ et ]0;+\infty[
Parfois, on peut raccorder deux solutions pour obtenir une solution maximale,
mais il n'y a plus unicité.


merci, mais comment le rédiger clairement?


Posted by: mathelot

Analyse:

La forme des solutions de l'équation (E) sont les suivantes:
celles définies sur R+* et ne s'annulant pas sont de la forme:
y=x^2 \ln( |x| ) + K_{1} x^2
celles définies sur R-* et n e s'annulant pas sont de la forme:
y=x^2 \ln( |x| ) + K_{2} x^2
Elles correspondent à des solutions du problème de Cauchy maximales sur des parties connexes où l'équation est résoluble en y'.

L'équation n'interdit pas de chercher une ou des solutions définies sur R tout entier.

Pour obtenir une solution sur R tout entier, on doit faire un raccord
dérivable entre deux solutions, l'une définie sur R-*, l'autre sur R+*.

Synthèse:

Soit y_{0} une solution sur R-* à un problème de Cauchy.
avec y_{0}(x_{0})=a (condition initiale).

Cette solution admet deux prolongements de classe C^{1} (continuement dérivable) en x=0.


- par la fonction nulle sur R+*
- par une solution y_{1} en ajustant les constantes K_{1} et K_{2}.

Conclusion: il ya donc existence d'une solution maximale sur R tout entier
à un problème de Cauchy mais pas unicité (Il y a toujours deux solutions au problème de Cauchy). ça vient du fait que l'équation n'est pas résoluble en y'
sur R tout entier.


Posted by: max

Citation:
Posté par mathelot
Analyse:

La forme des solutions de l'équation (E) sont les suivantes:
celles définies sur R+* et ne s'annulant pas sont de la forme:
y=x^2 \ln( |x| ) + K_{1} x^2
celles définies sur R-* et n e s'annulant pas sont de la forme:
y=x^2 \ln( |x| ) + K_{2} x^2
Elles correspondent à des solutions du problème de Cauchy maximales sur des parties connexes où l'équation est résoluble en y'.

L'équation n'interdit pas de chercher une ou des solutions définies sur R tout entier.

Pour obtenir une solution sur R tout entier, on doit faire un raccord
dérivable entre deux solutions, l'une définie sur R-*, l'autre sur R+*.

Synthèse:

Soit y_{0} une solution sur R-* à un problème de Cauchy.
avec y_{0}(x_{0})=a (condition initiale).

Cette solution admet deux prolongements de classe C^{1} (continuement dérivable) en x=0.


- par la fonction nulle sur R+*
- par une solution y_{1} en ajustant les constantes K_{1} et K_{2}.

Conclusion: il ya donc existence d'une solution maximale sur R tout entier
à un problème de Cauchy mais pas unicité (Il y a toujours deux solutions au problème de Cauchy). ça vient du fait que l'équation n'est pas résoluble en y'
sur R tout entier.

j'ai compri!! merci beaucoup

je vais encore potasser tout ça mais je crois que j'ai compri


Posted by: mathelot

Plus imagé, quand une courbe solution "arrive" à l'origine,
la fonction dérivée a le choix en x=0 de la direction pour repartir.


Posted by: Zebulon

Citation:
Posté par mathelot
bonjour,

le problème de Cauchy est posé pour une équation résoluble en y'
donc de la forme :
y ' = F(x,y) où F est une fonction de R^2 dans R localement lipschitzienne.

Bonjour,
dans les hypothèses du problème de Cauchy, F doit être localement lipschitzienne uniquement par rapport à la deuxième variable.










-