Mathématiques - Simplicité des valeurs propres d'un opérateur intégrale

Simplicité des valeurs propres d'un opérateur intégrale
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: dhahri

Bonjour,
J'ai une question qui me gene et j'ai besoin d'un coup de pouce, n'hésitez pas de me donner votre avis concernant le raisonnement que je vais faire et surtout une idée concernant la question que je poserai.
On se donne l'opérateur intégrale $Q_c$ défini par:
$Q_{c}(f)(x)=\int_{D}e^{icx.y}f(y)dy$
où $x=(x_1 ,x_2 ),$ $y=(y_1 ,y_2 )$ sont deux points de $R^{2}$ , $x.y= x_1 y_1 +x_2 y_2$ et $D=\{(x_1 ,x_2 )\in R^{2}; x_{1}^{2} +x_{2}^{2}\leq 1\}$ est le disque unité de $R^{2}.$
Il est bien claire que l'opérateur $Q_c$ est un opérateur de Hilbert Schmidt et par conséquent il admet une infinité dénombrable de fonction propres qui forment une base de $L^{2}(D)$ . Ma question porte sur la simplicité des valeurs propres des fonctions propres de $Q_c$ . C'est à dire si je me donne une fonction propre g de $Q_c$ dont la valeur propre est $\gamma$ . La question est: $\gamma$ est elle simple?
Merci bien davantage pour vos remarques et commentaires.

Posted by: fahr451

une question les fonctions à valeurs dans R ou C?

si c'est R l'opérateur est clairement autoadjoint et donc oui "diagonalisable"
si c'est C ?

Posted by: dhahri

Merci bien pour la réponse.
La fonction f est à valeurs réelle. Dans ce cas comment tu affirme que lers valeurs propres de l'opérateur sont simples?.
Merci pour ton aide

Posted by: fahr451

hola je ne sais pas

ma question initiale portait sur le fait que l 'opérateur était ou non auto adjoint

si les fonctions avaien été complexes il ne l'aurait pas été

tu as écrit "de hilbert schmdt ( ce qui est vrai) donc "diagonalisabe" ça ce n'est pas vrai

c'est bien le fait d'être auto adjoint qui le prouve.

Pour la simplicité des valeurs propres je ne sais pas ( es tu sûr ?) sauf à expliciter les éléments propres ( est -ce possible ?)

Posted by: dhahri

Merci encore une autre fois pour l'eclaircissement de quelques résultats. concernant ta question est-ce possible d'expliciter les valeurs propres de l'opérateur $Q_c$ ? Ma réponse est: j'en aucune idée?
Si tu le permet: j'ai juste une denière question:
Est ce que il y a une base connu de $L^{2}(D)$ : l'ensemble des fonctions de carré intégrable sur le disque unité D.
Merci encore une autre fois pour l'aide;
Amicalement
Dhahri

Posted by: fahr451

une base ou une base hilbertienne?

Posted by: dhahri

Merci bien de me rappeler, je veux une base Hilbertienne de $L^{2}(D)$ , si possisble.
Merci bien davantage pour l'aide