Mathématiques - Et si on remplace métrique par topologique ?

Et si on remplace métrique par topologique ?
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Posted by: Zapata

Bonjour !

Si on a un espace métrique compact X, alors toute suite de X qui admet un point d'accumulation x admet une sous-suite convergente vers x.

Je voulais savoir s'il était possible de généraliser ce théorème en supprimant l'hypothèse métrique par topologique (donc qu'il soit valable pour des espaces topologiques non métrisables).

Il faut savoir qu'une suite converge vers x dans un espace topologique si, pour tout voisinage V de x, il existe N € IN tq pour tout n≥N, x "indice n" € V.
Merci !

Posted by: legeniedesalpages

salut,

oui ça marche toujours du moment que ta suite comporte une infinité de termes distincts me semble-t-il.

Je crois que c'est la réciproque qu'on perd, à vérifier.

Posted by: sandrine_guillerme

Salut,

Indication : Borel-Lebesgue

Posted by: ThSQ

La caractéristique dont tu parles s'appelle la compacité séquentielle, Zapata.

En toute généralité il n'y a pas de lien (style l'un implique l'autre) entre compacité et compacité séquentielle (les contrex sont délicieusement tordus).

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par ThSQ

La caractéristique dont tu parles s'appelle la compacité séquentielle, Zapata.

En toute généralité il n'y a pas de lien (style l'un implique l'autre) entre compacité et compacité séquentielle (les contrex sont délicieusement tordus).

?? comprends pas ??

il me semble qu'il y a justement un lien, voir thm de Borel-Lebesgues

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par ThSQ

mais il me semble que si on remplace "point d'accumulation" par valeur d'adhérence, il y a un lien, non?

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

thm de Borel-Lebesgues

Borel-Lebesgues c'est dans le cas métrique seulement non ?

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par legeniedesalpages

mais il me semble que si on remplace "point d'accumulation" par valeur d'adhérence, il y a un lien, non?

Vi, compact => "limit point compact"

La topologie, c'est trop bien

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par ThSQ

"limit point compact"

Comprend pas

Citation:

Posté par ThSQ

La topologie, c'est trop bien

Toutafé d'accord :D

Posted by: sandrine_guillerme

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Posté par ThSQ

Borel-Lebesgues c'est dans le cas métrique seulement non ?

Il me semble que non, ça s'applique pour un espace topologique quelconque

vous en faites de la topo en sup ?

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Il me semble que non, ça s'applique pour un espace topologique quelconque

vous en faites de la topo en sup ?

C'est pas ce qu'a l'air de dire le Gustave Choquet.

je pense que ThSQ ne se limite pas au programme de sup. Je trouve qu'il a un niveau supra-délirant lol.

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Il me semble que non, ça s'applique pour un espace topologique quelconque

Oui pardon je pensais à Bolzano-Weierstras vu le contexte.

Je vois pas bien le rapport entre les suites et Borel-Lebesgue (qui est la définition d'un compact dans le cas général il me semble bien) ??

Posted by: legeniedesalpages

Ah oui d'accord le théorème de Heine-Borel-Lebesgue dans IR est en fait la définition de la compacité, ok.

Posted by: legeniedesalpages

Un petit topo:

Dans un espace compact E,

toute suite de points possède une valeur d'adhérence; si elle en a qu'une elle converge vers cette valeur.

Toute partie infinie A de E a au moins un point d'accumulation.

Si E est métrique, on a équivalence entre ces 4 points:

1) E compact;
2) toute suite infinie de points de E a au moins une valeur d'adhérence
3) toute suite infinie de points de E contient une suite extraite convergente;
4) toute partie infinie de E a au moins un point d'accumulation.

Posted by: Zapata

Citation:

Posté par legeniedesalpages

Un petit topo:

Elle est bien bonne celle là

Je suis tout à fait d'accord avec ceci :

"Dans un espace compact E, toute suite de points possède une valeur d'adhérence"
"Un valeur d'adhérence est un point d'accumulation" et certaines autres implications que tu cites dans le cadre des espaces métriques.

D'après ce que tu dis, on peut remplacer l'hypothèse métrique par topologique moyennant le fait que la suite n'aie qu'une valeur d'adhérence ?

Cela signifie que dans le cas d'un espace topo non métrisable, une suite qui possède plus d'une valeur d'adhérence n'a pas nécessairement de sous-suite convergente ?

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

D'après ce que tu dis, on peut remplacer l'hypothèse métrique par topologique moyennant le fait que la suite n'aie qu'une valeur d'adhérence ?

Non il me semble en fait que l'on gagne 2 => 1 quand on passe de topologique à métrique.

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

"Un valeur d'adhérence est un point d'accumulation"

je ne crois pas avoir dit ça, et je suis pas sûr que ce soit vrai.

par exemple si on prend $[0,1]\cup\{2\}$ , 2 est une valeur d'adhérence, mais pas un point d'accumulation me semble-t-il.

Posted by: legeniedesalpages

par contre oui j'ai mal lu,

les valeurs d'adhérence d'une suite coincide avec ses points d'accumulation dans le cadre d'un espace métrique (et même peut etre pour les espaces qui admettent une base locale dénombrables de voisinages ouverts en chacun de ses points, à voir).

Posted by: Zapata

Tu dis ceci :

Citation:

Posté par legeniedesalpages

Un petit topo:

Dans un espace compact E,

toute suite de points possède une valeur d'adhérence; si elle en a qu'une elle converge vers cette valeur.

Donc, si cette suite n'a qu'une valeur d'adhérence x, il existe une sous-suite (qui est en fait la suite "d'origine", vu que celle-ci converge vers x) qui converge vers cette valeur, non ?
Donc tu échanges bien "métrique" contre "topologique avec une seule valeur d'adhérence".

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par Zapata

Tu dis ceci :

Donc, si cette suite n'a qu'une valeur d'adhérence x, il existe une sous-suite (qui est en fait la suite "d'origine", vu que celle-ci converge vers x) qui converge vers cette valeur, non ?
Donc tu échanges bien "métrique" contre "topologique avec une seule valeur d'adhérence".

oui, c'est ça.

Posted by: Zapata

J'ai vérifié, effectivement, dans un espace compact, une suite qui ne possède qu'une valeur d'adhérence converge vers elle.
Maintenant on sait qu'on peut élargir un peu le théorème qui devient donc :

Soit X un esp. topo., si une suite x"indice n" n'admet qu'un point d'accumulation (ou valeur d'adhérence, la définition est la même), alors il existe une sous suite qui converge vers x.

Mais peut-on supprimer l'hypothèse "une seule valeur d'adhérence" ? J'aimerai avoir un contre-exemple ou une démonstration... syouplé... :-D

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par Zapata

Maintenant on sait qu'on peut élargir un peu le théorème qui devient donc :

C'est bizarre, j'ai l'impression que tu n'as peu une étude des espaces compact dans un espace topologique mais seulement dans un espace métrique.

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par Zapata

J'ai vérifié, effectivement, dans un espace compact, une suite qui ne possède qu'une valeur d'adhérence converge vers elle.
Maintenant on sait qu'on peut élargir un peu le théorème qui devient donc :

Soit X un esp. topo., si une suite x"indice n" n'admet qu'un point d'accumulation (ou valeur d'adhérence, la définition est la même), alors il existe une sous suite qui converge vers x.

Mais peut-on supprimer l'hypothèse "une seule valeur d'adhérence" ? J'aimerai avoir un contre-exemple ou une démonstration... syouplé... :-D

Non dans un espace topologique c'est pas la même.

si on prend la suite constante qui vaut 1 dans IR, elle n'a aucun point d'accumulation, elle a cependant une valeur d'adhérence:1.

Posted by: Zapata

Citation:

Posté par legeniedesalpages

Non dans un espace topologique c'est pas la même.

si on prend la suite constante qui vaut 1 dans IR, elle n'a aucun point d'accumulation, elle a cependant une valeur d'adhérence:1.

Ah, ben là on a un problème de définition alors ! Parce que dans le cours que j'ai reçu, on dit que x est un point d'accumulation ou valeur d'adhérence d'une suite si pour tout voisinage V de x et pour tout N € IN, il existe n≥N tq x"indice n" € V. C'est bien une définition dans les espaces topo puisqu'elle ne fait pas appel à une notion de distance.

On a étudié la compacité dans le cadre des espaces topologiques, mais le théorème qui est la raison de ce post est un des seuls à être restreint aux espaces métriques, je voulais donc savoir si c'était parce qu'on ne pouvait pas l'élargir et si c'est le cas, avoir un contre-exemple.

Posted by: legeniedesalpages

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Posté par Zapata

ok oui il y a un souci sur la définition. Pour moi un point d'accumulation x d'une suite doit contenir un terme de la suite distinct de x.

Donc il me semble que pour une valeur d'adhérence on peut généraliser, mais pas pour un point d'accumulation. Je suis pas sûr.

Tu peux essayer de voir en reprenant la démo du cours en essayant de l'adapter et voir où ça peut clocher. M'enfin tu l'as peut être déjà fait. :)

Posted by: Zapata

Bien sur j'ai déjà essayé, avant de demander j'essaie un peu tout de même...
Mais j'y suis pas arrivé, en effet, la démonstration est très simple, on construit la sous-suite convergente vers x de cette manière : on prend comme terme x"indice n indice k" un de ceux qui se situent dans la boule de centre x (qui est valeur d'adhérence) et de rayon 1/k et on procède par récurrence... mais elle fait appel à la notion de distance avec le rayon de la boule. Et je ne vois pas comment "s'approcher" de x sans cette notion, c'est à dire en utilisant seulement la notion de voisinage des espaces topologiques.

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Si on a un espace compact $X$ , alors toute suite $(x_n)$ de $X$ qui admet un point d'accumulation $x$ admet une sous-suite convergente vers $x$ .

ok tu veux montrer ça, je ne sais pas si c'est vrai.

Posted by: Zapata

Oui voilà ! je veux démontrer ça... Ou trouver un contre-exemple dans le cas ou c'est faux !
C'était pas clair ma question depuis le début ? Dis-le moi car si c'était pas clair, j'essaierai de mieux m'exprimer la prochaine fois...
Ben en tout cas merci pour ton aide ! Si quelqu'un peut toutefois répondre à ma question... (moi qui avait un peu peur de me faire remballer dès le début, genre "ah ouais mais c'est ultrafacile") !

Posted by: legeniedesalpages

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Posté par Zapata

Oui voilà ! je veux démontrer ça... Ou trouver un contre-exemple dans le cas ou c'est faux !
C'était pas clair ma question depuis le début ? Dis-le moi car si c'était pas clair, j'essaierai de mieux m'exprimer la prochaine fois...
Ben en tout cas merci pour ton aide ! Si quelqu'un peut toutefois répondre à ma question... (moi qui avait un peu peur de me faire remballer dès le début, genre "ah ouais mais c'est ultrafacile") !

ce qui est perturbant surtout c'est cette histoire de points d'accumulation, où on a pas les mêmes définitions.

Après je manque de recul pour voir si ça marche ou pas (si il faut trouver un contre-exemple, ce serait dans une topologie un peu compliqué vu qu'elle devrait être séparée (car compact) et non métrisable, et j'en vois pas souvent).

Ce qui est bête, je pense c'est de ne pas se poser de questions :)

Posted by: ThSQ

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Posté par Zapata

Oui voilà ! je veux démontrer ça... Ou trouver un contre-exemple dans le cas ou c'est faux !

C'est faux. $[0;1]^{[0;1]}$ muni de la convergence simple est un contrex je crois bien.

Posted by: legeniedesalpages

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Posté par ThSQ

C'est faux. $[0;1]^{[0;1]}$ muni de la convergence simple est un contrex je crois bien.

ce que je crois aussi, mais j'arrive pas à trouver un contre-exemple.

Posted by: ThSQ

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Posté par legeniedesalpages

ce que je crois aussi, mais j'arrive pas à trouver un contre-exemple.

C'est compact donc "limit point compact" (toujours vrai). Il suffit de trouver une suite sans sous-suite cv : f_n(x) = niéme décimale de x conviendrait bien

Posted by: legeniedesalpages

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Posté par ThSQ

C'est compact donc "limit point compact" (toujours vrai). Il suffit de trouver une suite sans sous-suite cv : f_n(x) = niéme décimale de x conviendrait bien

c'est quoi que t'appelles "limit point compact" ???

Posted by: Zapata

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Posté par legeniedesalpages

Oulà par contre je suis pas d'accord avec toi, un espace compact n'est pas forcément séparé, contre-exemple : ({0,1} muni de la topologie grossière) est compact mais pas séparé.

ThSQ, tu peux un peu détailler s'il te plaît ?
Je ne vois pas ce qu'est l'espace [0;1]^{[0;1]} ni la topologie "convergence simple", quels en sont les ouverts ? Merci !

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Oulà par contre je suis pas d'accord avec toi, un espace compact n'est pas forcément séparé, contre-exemple : ({0,1} muni de la topologie grossière) est compact mais pas séparé.

ça dépend en fait il y a deux choix de définitions possibles. Moi j'ai choisi-celle qui dit qu'un espace compact est séparé, apparemment tu as choisi celle qui ne prend pas en compte la séparation (cf l'article de wiki: http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_compact ).

Posted by: legeniedesalpages

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Posté par Zapata

ThSQ, tu peux un peu détailler s'il te plaît ?
Je ne vois pas ce qu'est l'espace [0;1]^{[0;1]} ni la topologie "convergence simple", quels en sont les ouverts ? Merci !

La convergence simple sur $[0;1]^{[0;1]}$ , j'avais déjà donnée sa définition dans ce post (message #42): http://www.maths-forum.com/showthre...84&page=5&pp=10

Posted by: ThSQ

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Posté par legeniedesalpages

c'est quoi que t'appelles "limit point compact" ???

http://en.wikipedia.org/wiki/Weakly_countably_compact

Je ne sais pas comment on dit en français !

Posted by: ThSQ

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Posté par Zapata

un espace compact n'est pas forcément séparé, contre-exemple

En français compact = séparé + propriété sur les recouvrements par les ouverts !
En anglais non .....

Posted by: SimonB

f_n(x)=cos(2\Pi nx) convient, également.