Bonjour,
Un exemple simple est la définition du courant. En fait, en physique, les équations différentielles viennent de l'étude des phénomènes à l'échelle infinitésimale (d'un point de vue temporel). La définition du courant, c'est un flux de particules chargées. La valeur de l'intensité du courant, c'est la quantité de charges qui passe à travers une surface sur un temps donné. Or, le courant est une grandeur instantanée. On ne peut pas écrire I=Q/T, avec Q l'ensemble des charges qui traverse pendant la durée T et T un temps long. Ce serait un courant moyen, mais qui ne reflète pas les changements rapides qui peuvent survenir de manière ponctuelle sur le débit de ces charges. Il faut résonner de manière infinitésimale, en considérant que sur l'unité de temps (minuscule), on peut faire l'approximation que le débit est constant, et donc représentatif du courant à ce moment t précis.
Ainsi, tu prends un fil électrique, et tu définis un plan S qui est une section de ce fil. Pendant
, il y a
charge qui traverse S. Plus précisément, entre l'instant
et l'instant
,
charge ont traversé S. Et donc,
.
On peut ainsi étudier la décharge d'un condensateur au cours du temps. Plus le condensateur se vide, moins il y a de charge disponible, et donc le débit de charge va diminuer au cours du temps, ce qui fait que plus le temps augmente, plus
est petit pour le même
, ce qui entraine une diminution de l'intensité au cours du temps.
Résolvons cet exemple simple donc : tu as un condensateur chargé, avec à ses bornes une tension
. On le branche aux bornes d'une résistance de valeur R. Comment varie la tension aux bornes du condensateur, ainsi que le courant qui le traverse ?
La tension
aux bornes d'un condensateur est donnée par
, où q est la charge sur l'une des armatures et C la valeur de la capacitance du condensateur. Le circuit étant fermé, les charges présentes sur cette armature vont la quitter pour rejoindre l'autre armature, sous l'effet de l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur. Il y a donc un mouvement de charge et l'apparition d'un courant. Pendant
,
charge quitte cette armature, ce qui engendre un courant
. De plus, si q, la charge sur l'armature, varie de
, alors la tension aux bornes de la condensateur varie de
(puisque
). Ainsi, tu as
.
De plus, la tension au borne de la résistance est, d'après la loi d'ohm,
. En remplaçant i, puis en transformant les variations infinitésimales par des différentielles mathématique (le passage est transparent), tu arrives à l'équation différentielle vérifiée par v :
, soit encore :
. La solution d'une telle équation est la suivante :
. Le calcul de la constante se fait grâce à la condition initiale. A t=0,
.
Finalement,
et
. A noter que ces expressions ne sont vraies que pour t>0, après avoir mis la résistance. Pour t<0, on a :
et
. On remarque ainsi que la tension est continue et l'intensité discontinue.
J'espère avoir répondu à ta demande, si tu as des questions, n'hésite pas.
A plus,