Slt

:hein: slt comment on peut démentrer que 13 divise 2 à la puissance70 plus 3 à la puissance70

Bonjour,
tu es en quelle classe?
Connais-tu les congruences?

Montrer que :

13/[2^(70)+3^(70)]

Sylar a écrit:Montrer que :

13/[2^(70)+3^(70)]

C'est pas plutot l'inverse, montrer que (2^70+3^70)/13 € N? :zen:

"Un entier est divisible par 13 si son nombre de dizaines augmenté de 4 fois le chiffre de ses unités est divisible par 13." (vulgaire copier coller)
Je peux te le démontrer avec les congruences !
Mais encore faudrait il connaitre les premiers chiffres de 2^70, sinon ,
2^70 = 2^69 + ... + 2^1 + 1 + 1 = ...
Je sais pas si c'est la bonne piste...

lapras a écrit:"Un entier est divisible par 13 si son nombre de dizaines augmenté de 4 fois le chiffre de ses unités est divisible par 13." (vulgaire copier coller)
Je peux te le démontrer avec les congruences !
Mais encore faudrait il connaitre les premiers chiffres de 2^70, sinon ,
2^70 = 2^69 + ... + 2^1 + 1 + 1 = ...
Je sais pas si c'est la bonne piste...

C'est la bonne piste. En effet, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, . On voit bien une suite logique de chiffres des unités: 8, 6, 2, 4. Pour les dizaines, c'est un petit peu plus compliqué, on dirait...

3^70... 3, 9, 27, 81, jaiperdumacalculette, jaiperdumacalculette, jaiplusdebrouillon, jaiplusdepapier, jaiplusdestylo :marteau:

Anima, tu crois qu'avec une bonne librairie en C on pourrait afficher tous les chiffres de 2^70 ? lol
Sinon, bonne remarque sur le chiffre des unités, mais je n'arrive vraiment pas a conclure, en plus comme tu le dit, la suite logique des dizaines est pas évidente... (bon j'avoue j'ai jamais fait d'arithmétique)

lapras a écrit:Anima, tu crois qu'avec une bonne librairie en C on pourrait afficher tous les chiffres de 2^70 ? lol
Sinon, bonne remarque sur le chiffre des unités, mais je n'arrive vraiment pas a conclure, en plus comme tu le dit, la suite logique des dizaines est pas évidente... (bon j'avoue j'ai jamais fait d'arithmétique)

Pas besoin d'une "bonne" librairie en C; je ne pense meme pas qu'on atteigne la limite de chiffre. Attends, je vérifie (proco AMD64 en plus )
1180591620717411303424 est bien égal a 2^70 (test effectué: racine 70e de ca).

Code utilisé en VB:

Console.WriteLine("Multiplication de 2, 70 fois")
Dim tstindex As Integer
Dim powa = 2
For tstindex = 1 To 69
powa = powa * 2
Console.WriteLine(tstindex.ToString + " - " + powa.ToString)
Next

Tu es méchan :ptdr: tu aurais pu le faire en C, je ne comprends rien
Sinon :
[PHP]
double n=0.0;
n=puissance(2.0, 70);
printf("%lf\n",n);
[/PHP]
ceci m'affiche :
1180591620717411300000.000000
les derniers chiffres sont "zapés", pourquoi ?

ps : dsl pour la présentation en code php, je vois pas où c'est pour le C

lapras a écrit:Tu es méchan :ptdr: tu aurais pu le faire en C, je ne comprends rien
Sinon :

ceci m'affiche :
1180591620717411300000.000000
les derniers chiffres sont "zapés", pourquoi ?

Tu as un processeur intel, donc une limite de chiffre 2 fois moins grande qu'un processeur 64bit.

Si tu veux faire le calcul en entier, il te faut couper ton nombre en sections de 32bit et faire le calcul a la main... Faisable, mais chiant. Ou alors t'acheter un AMD turion 64 X2

Sans rancune? :marteau:

je croyais que j'avais un 64 bits ! (ou bien darty m'a arnaqué !)

Vous êtes en train de vous perdre. Il ne faut regarder ni les chiffres des unités, ni ceux des dizaines de . Ce qui compte, ce sont les restes dans la division par 13.

Dans l'ordre en partant de n=0, les restes de dans la division par 13 sont: 1;2;4;8;3;6;12;11;9;5;10;7;1... et on recommence. (Période de 12).
Le reste dev est 1, celui de est 1, et celui de est 10

On fait pareil avec : C'est plus simple 1;3;9;1;3;9... Période de 3. Le reste de est donc 1 et par conséquent, celui de est 3

Bilan, le reste de est 10+3. C'est à dire 13, ou plutôt 0. (13 ne peut être un reste dans la division par 13!).

Conclusion: 13 divise

On peut "remarquer" que (faire une division euclidienne pour s'en persuader) donc , puis

De même, en "remarquant" que et en procédant de façon similaire, on arrive à .

D'où le résultat final : , c'est-à-dire que 13 divise

C'est comme ça que j'aurais fait en terminale je pense...je n'aime pas ce genre de raisonnements mais bon...

Pour votre info,




:bad:

:doh: Des dieux en arithmétiques

Skullkid a écrit:C'est comme ça que j'aurais fait en terminale je pense...je n'aime pas ce genre de raisonnements mais bon...

Pourquoi n'aimes-tu pas ce genre de raisonnement?

lapras a écrit::doh: Des dieux en arithmétiques

Tu es vraiment gentil, mais c'est le B.A.-Ba...

Oui, c'est vrai, quand on voie la démo, mais je ne l'aurais pas remarqué comme ca

lapras a écrit::doh: Des dieux en arithmétiques

Personnellement j'aime pas ça =(

emdro a écrit:Pourquoi n'aimes-tu pas ce genre de raisonnement?

A cause du "on remarque que". Quand on a jamais vu ce genre d'exos on peut tourner des heures sans rien trouver, et dans le cas présent sans avoir l'idée de fouiller dans les premières puissances de 2 et 3. L'arithmétique, c'est un peu trop "astucieux" pour moi. Non pas que je trouve que ça donne lieu à des raisonnements moches, au contraire, j'admire. Mais j'y arrive pas...

Peut-être un traumatisme d'enfance refoulé, qui sait ?

C'est peut-être un petit manque d'habitude. Il est vrai que ces raisonnements sont particuliers à l'arithmétique.

Cela me parait au contraire très naturel de regarder les premières puissances de 2 et de 3. Comme on n'a que 13 restes modulo 13, et qu'il y a nécessairement périodicité, l'idée vient d'elle-même, non?