Forum mathématique - Equation fonctionnelle.

06/08/2006, 21h03	#1
geta Membre Naturel Date d'inscription: août 2006 Messages: 5	Equation fonctionnelle. Bonjour, voici un truc trop dur pour moi : trouver f continue définie sur R telle que f(1/x) = f(x+1)-f(x) c'est tout. Merci

06/08/2006, 21h16	#2
Nightmare Membre Complexe Date d'inscription: juillet 2005 Messages: 10 171	Bonjour $3$\rm f(y)=f(\frac{1}{y}+1)-f(\frac{1}{y})$ (en prenant y=1/x) Donc : $3$\rm f(y)=f(\frac{1}{y}+1)-f(y+1)+f(y)$ finalement : $3$\rm f(\frac{1}{y}+1}=f(y+1)$ c'est à dire : $3$\rm f(y)=f(\frac{y}{y-1})$ On note : $3$\rm \phi(y)=\frac{y}{y-1}$ et $3$\rm \phi_{n}=\phi o\phi o...o\phi (n fois)$ On peut démontrer par réccurence que : $3$\rm f(y)=f(\phi_{n}(y))$ (ce résultat est intuitif puisque $3$\rm \phi$ est involutive) Conclus en utilisant la continuité de f et la limite de $\rm \phi_{n}$ __________________ Jord

12/08/2006, 07h13	#3
geta Membre Naturel Date d'inscription: août 2006 Messages: 5	Merci Nightmare, tu m'excuseras d'insister, il me manque encore une marche : la dernière (j'espère). Désolé, je n'utilise pas d'éditeur d'équation (ça aussi c'est trop dur pour moi ) Si je souviens bien de ce que signifie "involutive" phi(phi(x)) = x et je ne vois pas bien à quoi ça mène de calculer une limite de phi n (x). Cette suite me semble simplement alternée. Si n est pair, on tombe sur x (d'où f(x) = f(x) ) et si n est impair, on reste avec f(x) =f(phi(x)). Et j'ai comme l'impression que le problème reste entier. Qu'en penses-tu ?

12/08/2006, 10h25	#4
alben Membre Complexe Date d'inscription: mai 2006 Messages: 1 173	Bonjour, La formule de Nightmare f(y+1)=f(1+1/y) te permet déjà de voir que f tend vers f(1) lorsque y tend vers l'infini (positif ou négatif) en utilisant la continuité de f. Sinon, pour le reste ce n'est pas évident On trouve aussi que la fonction s'annule pour y = 0 ,y=-a et 1/a où a est le nombre d'or 1,618... Dernière modification par alben 12/08/2006 à 11h16.

12/08/2006, 13h13	#5
Nightmare Membre Complexe Date d'inscription: juillet 2005 Messages: 10 171	Si l'on montre que Phi n converge, on prouve que f est une fonction constante. __________________ Jord

12/08/2006, 13h25	#6
tize Membre Complexe Date d'inscription: juin 2006 Localisation: ailleurs Messages: 2 408	$\phi_n(x) = x$ si $n$ est pair et $\frac{x}{x-1}$ sinon; il me semble que $\phi_n$ ne converge même pas simplement. __________________ En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises... Cordialement José

12/08/2006, 13h33

alben

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Date d'inscription: mai 2006

Messages: 1 173

Citation:

Posté par Nightmare

Si l'on montre que Phi n converge, on prouve que f est une fonction constante.

Je serais curieux de voir ça
En revanche je pense aussi que la fonction est identiquement nulle, donc constante.
Reste à le montrer

12/08/2006, 13h46	#8
Nightmare Membre Complexe Date d'inscription: juillet 2005 Messages: 10 171	Curieux de voir quoi Alben ? __________________ Jord

12/08/2006, 13h50