Bijections

bonjour,

Pouvez-vous trouver une bijection de R dans R². (et plus généralement, de R dans R^n)....
Ceci montre que R et ses puissances ont le même nombre d'éléments, ce qui est assez incroyable comme résultat.

C'est possible ça ??? (ca voudrais dire que l'on peut repérer un point du plan avec 1 paramètre...hum....).

Rain' a écrit:Dites moi si je me trompe mais R^n est un espace vectoriel de dimension n, R est un espace vectoriel de dimension 1 et une bijection respecte les dimensions.

Je vois mal comment tu as un exemple à proposer.

salut,
une bijection ne concerve les dim que si elle est linéaire

abel a écrit:C'est possible ça ??? (ca voudrais dire que l'on peut repérer un point du plan avec 1 paramètre...hum....).

salut,
il y a des bijections entre et IR (et méme entre et IR) mais je ne pense pas qu'il y a une app usuel qui le vérifie
je me rappelle qu'on peut montrer l'existence de cette bijection par construction,mais bon je vais chercher

déjà dans IN n on a IN^k est en bijection avec IN .pour IN^2 prenez f:IN^2 -> IN qui à (m,n) -> 2^m(2n+1) ou (x,y)-> (x+y)(x+y+1)/2 + x ce sont des bijections.
dans des ensembles infinis on ne peut pas raisonner de la meme manière qu'usuellement.

Bonsoir,

il me semble que c'est Cantor qui a démontrer qu'il existe des bijections de R vers R^n.
(Un exemple de surjection de [0,1] dans [0,1]*[0,1], c'est les courbes de Peano.)


Preuve qu'il existe une bijection entre [0,1[*[0,1[ et [0,1[ :
Soit f:[0,1[*[0,1[->[0,1[
x = 0, x1 x2 x3 x4 ...
y = 0, y1 y2 y3 y4 ...
f(x,y) = 0, x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 ...
f est une injection de [0,1[*[0,1[ dans [0,1[ (f est pas bijective 0.0999...=0.1)

Soit g : [0,1[->[0,1[*[0,1[
g(x) = (x,x)
g est une injection de [0,1[ dans [0,1[*[0,1[

donc, d'après le théorème de Cantor Bernstein :
(si il existe une injection de A vers B et une injection de B vers A alors il existe une bijection de A vers B)
donc il existe une bijection entre [0,1[ et [0,1[*[0,1[

Comme il existe une bijection entre [0,1[ et R...
Donc il existe une bijection entre R et R²
(On peut faire la meme chose avec R^n)
Voili, voilou

Oui, par exemple il y a une bijection entre [0,1] et [0,1]², on le voit par exemple en prenant un carré de 1 de côté, chaque point dans l'intérieur du carré peut être codé par un nombre unique dépendant de son abscisse et de son ordonnée, par exemple dans la base 10, si l'abscisse est 0,x1x2x3x4..., l'ordonnée 0,y1y2y3y4..., on peut associer à ce point le nombre 0,x1y1x2y2x3y3x4y4..., et il s'agit bien là d'une bijection. (je viens de me rendre compte que c'est ce que dit mln, mea culpa)

Alpha a écrit:Oui, par exemple il y a une bijection entre [0,1] et [0,1]²
dans la base 10, si l'abscisse est 0,x1x2x3x4..., l'ordonnée 0,y1y2y3y4..., on peut associer à ce point le nombre 0,x1y1x2y2x3y3x4y4..., et il s'agit bien là d'une bijection. (je viens de me rendre compte que c'est ce que dit mln, mea culpa)

ce n'est pas une bijection c'est injection comme a di mln

elle n'est pas surjective :
0.1292929292929... n'a pas d'antécédent par exemple :
f(0.19999...,0.22222...) = f(0.2,0.22222...) = 0.220202020...

le théorème de Cantor a deux hypothèses fondamentales en voilà l'énonçé :
Théorème de Cantor-Bernstein
Théorème
S'il existe une injection i d'un ensemble E vers un ensemble F et une injection j de F vers E, alors il existe une bijection f de E sur F.

et une petite preuve pour les intéressés :
http://spoirier.lautre.net/cant-bern.html

Je rajoute quelques résultats sur les cardinaux d'ensembles infinis pour ceux que ca intéresse:

Card(A)<=Card(B) si et seulement si il existe une injection de A vers B. (théorème de Cantor)

Card(N) = Card(N\{un nombre fini d'élément})= Card( N^n ) = Card( Z^n' ) = Card( Q ) = Card( Q\N ) = Card( Q^n'' ) (ensembles dénombrables)

Card( R ) = card( (a,b) ) = Card(R\Q) = card( R^n ) =card( C ) = card( C\R ) = Card( C^n' )
= Card(P( N )) = 2^(Card( N )) (ensembles indénombrables).

En raisonnant comme un physicien ( ce qui n'est certes pas vraiment rigoureux), comment peut on repérer un point juste par un paramètre ??? Sinon on se ferait pas chier dans les systemes de coordonnées, on ne prendrait qu'une donnée et par exemple en mécanique ca veut dire que l'on peut caractériser tout mvt avec une variable ???...Ca me parait tordu tout ça...(Mais bon, s'il y a une preuve alors...)