0.999999999 = 1

L'affirmation selon laquelle le monde est fini mériterait un minimum de démonstration, je ne suis pas convaincu. Si c'est posé comme axiome, je veux bien l'accepter, mais pour l'nstant sous cet unique aspect.
Je suis aussi un fan de Russel, mais un ennemi de Cantor.

nodjim a écrit:L'affirmation selon laquelle le monde est fini mériterait un minimum de démonstration, je ne suis pas convaincu. Si c'est posé comme axiome, je veux bien l'accepter, mais pour l'nstant sous cet unique aspect.
Je suis aussi un fan de Russel, mais un ennemi de Cantor.

Oui mais le monde est fini pour moi c'était le monde est mort ou bien il meurt ...

Je ne connais pas assez pour avoir des ennemis, c'est quoi qui te fache chez Cantor?

Evidemment tout dépend de la définition de "fini" et "infini".
Pour moi, quelque chose de fini est mesurable, a un début et une fin.
Si mes informations sont bonnes, on peut dater le début de l'univers, le big-bang. Fort
heureusement il ne semble pas que l'on puisse encore dater sa fin.
Il y a aussi la notion de "mesurable". Là encore, il y a des constantes bien connues, qui sont donc des limites, le zéro absolu, la vitesse de la lumière et certainement des tas d'autres choses que je ne connais pas.
Autre argument plus intuitif : il y a longtemps que je me suis rendu compte que les performances de tout ce qui constitue notre environnement avaient les valeurs comparables. Je prendrai l'exemple simple que le record de saut en hauteur d'une puce et celui d'un éléphant sont du même ordre.
Dans un message précédent, j'ai évoqué la parcelle de gâteau la plus petite possible. Plus petit, ce n'est pas du gâteau.
Dans le monde réel, je ne vois aucun exemple que quelque-chose qui n'ait pas de limite, inférieure ou supérieure suivant les cas, et généralement les deux.
Il est naturellement difficile de démontrer que le monde réel est fini, sauf à montrer qu'on ne trouve pas de cas où il est infini.
Ceci dit, ça ne me gène pas qu'en mathématique on puisse considérer que l'infini existe, de la même façon que les nombres complexes existent, puisque ça peut servir.

Le monde survivra à l'homme, pas d'inquiétude. Enfin, j'espère..

Chez Cantor, j'ai toujours contesté sa démo sur l'indénombrabilité de l'ensemble des réels. Chose que je ne conteste pas, d'autres démos ont été élaborées par ailleurs.
C'est drôle, cette démo passe pour un coup de génie pour beaucoup. Elle ne passe pas du tout pour moi.

nodjim a écrit:Le monde survivra à l'homme, pas d'inquiétude. Enfin, j'espère..

Chez Cantor, j'ai toujours contesté sa démo sur l'indénombrabilité de l'ensemble des réels. Chose que je ne conteste pas, d'autres démos ont été élaborées par ailleurs.
C'est drôle, cette démo passe pour un coup de génie pour beaucoup. Elle ne passe pas du tout pour moi.

ah oui un monde survivra, mais pas le monde!

De Cantor j'ai adoré les quelques trucs lus sur la cardinalité des infinis,
et j'adore la lettre à un ami mathématicien à qui il fait partager sa découverte, en lui demandant mais pince moi ou je rève et l'autre lui répond non tu ne rèves pas.Cette lettre est un grand moment de l'histoire des sciences je trouve ...Respect, je ne me vois pas un jour parler d'ennemi!

Dlzlogic, suppose que l'univers soit fini, tu lui attribues donc un bout. Mais ce bout c'est quoi ? De la matière ou du vide ? Si c'est du vide, tu n'es pas au bout, si c'est de la matière, reste à définir son épaisseur, finie ou infinie ? Si l'épaisseur de la matière est finie, il y a une fin à la matière, mais au dela alors ?
Cette vision très naïve te montre à quel point il est difficile de cerner la philosophie du fini et de l'infini. Pour moi, le fini n'est que le contour d'une propriété. On y est enfermé mais l'imagination suffit à sauter au dela. Tu auras donc compris que, personnellement, je trouve que c'est avec l'infini qu'on est le plus confronté, beaucoup plus qu'avec le fini. Et je parle du réel, pas d'abstraction. Et je trouve que c'est parce que les Mathématiques sont les plus à même de comprendre l'infini qu'elles sont si attractives (pour moi en tout cas).

Cette lettre doit parler, si je ne m'abuse, de la découverte qu'il a faite qu'il y avait autant de points dans un segment que dans un carré. Démonstration incontestable celle ci. Et on peut la projeter à un cube: il y a autant de points dans un segment que dans un cube. etc...
Et comme par ailleurs, il est dit qu' un segment est un ensemble de points, on en vient à cette conclusion stupéfiante:
Un point est un objet de dimension nulle. Si on voulait le représenter, par une pointe de crayon par exemple, on ne pourrait pas, on ne dessine jamais qu'une tàche, donc pas un point. Donc on le représente avec rien, stricto senso. Mais une infinité de riens, on peut noircir un carré entier! selon la demo décrite ci dessus.
C'est plutôt hallucinant.

Salut nodjim,
Est-ce que cela implique que toute figure convexe non réduite à un point à autant de points qu'une autre figure du même type. (En fait convexe n'est pas approprié, ce que je veux dire c'est une figure "continue", dont aucun point n'est isolé des autres).
Désolé si c'est pas dans le sujet...
Bonne soirée !

"C'est plutôt hallucinant."
Alors là complètement d'accord, on hallucine.
Un segment n'est pas un ensemble de points. Si ce segment coupe un autre segment, alors on peut dire que "l'intersection de ces deux segments est défini par le point P".
Un segment est défini par 2 points, ses extrémités etc. etc.
Je commence à comprendre pourquoi certains problèmes résolus quotidiennement sont déclarés impossibles ou non définis.
Je vois apparaitre le terme "objet" là on s'avance sur un terrain très glissant.

Si on considère que les nombres réels (les éléments de ) sont vraiment réels, alors on accepte automatiquement l'infini (cf n'importe quelle définition d'un nombre réel).

Dlzlogic a écrit:Un segment n'est pas un ensemble de points.

:hein: C'est quoi un segment alors ?

Dlzlogic a écrit:Un segment est défini par 2 points, ses extrémités etc. etc.

ok, tu caches l'ensemble de points dans le "etc. etc." :ptdr:

Soient A et B deux points [AB]={bar((A,t),(B,1-t)), t in [0,1]}... Pour moi c'est donc bien un ensemble de points, peut être peut on le définir autrement mais je ne vois pas comment sans dire que c'est un ensemble de points.

Je vais tout de même répondre.
Un segment est le lieu géométriques des point alignés sur le segment défini par ses extrémités.
C'est à dire que si on fait une intersection, voir plus haut, on aura un point qui "appartient" au segment. Qui dit ensemble dit groupe, c'est à dire "nombre d'individus". Un point n'a pas de réalité, il ne peut donc pas faire partie d'un ensemble.
On peut dire aussi qu'un point n'a d'existence que par sa définition, par exemple, extrémité d'un segment, intersection de deux segments, centre d'un cercle, localisation d'une altitude connue etc.

Le "etc. etc." était la définition d'un segment : "le plus court chemin entre deux points". Ces deux points n'ont pas de réalité, mais une définition, souvent (x,y) ou intersection ou je ne sais quoi d'autre. On peut aussi utiliser le terme "repère" : un point sert à repérer quelque-chose.
Pour finir, un point n'est un objet que s'il a des propriétés, par exemple une altitude, le centre d'un petit dessin, l'extrémité d'un segment.
Application : on peut déplacer, supprimer, renommer un point comme on veut, sans aucune conséquence, sauf si c'est un objet, donc qu'il a des propriétés

Je ne cherche en aucun cas à jouer sur les mots, simplement cette définition d'un segment : "ensemble de points" n'a pas de sens, puis qu'un point n'existe pas en lui-même on ne peut donc pas définir un ensemble de chose qui n'existent pas.

"Un segment est le lieu géométriques des point alignés sur le segment défini par ses extrémités."
ben le point est un lieu de dimension zéro, et ton segment [AB] est bien l'ensemble des lieux habitables entre A et B.
Le point milieu du segment AB existe bien, je ne vois pas qu'il soit sans réalité.

ex: le segment AB, tu le poses par terre,
ensuite tu vas boire un coup,
puis tu reviens dans ton bureau,
et par inadvertance tu marches au milieu du segment AB,
ben désolé le point milieu tu l'as écrasé,
jugements au procès: coups et blessures sans la volonté de nuire à ce point!

Salut Beagle,
Je comprends bien ce que tu veux dire.
D'abord, il faut bien distinguer "ensemble de points" et "lieu géométrique".
Ensemble des points sous-entend qu'il y a des points.
Par exemple, on pourra dire "une courbe de niveau est l'ensemble des points que l'on a mesuré à cette altitude". Cet exemple n'est pas bénin, en réalité une courbe de niveau ne passe généralement par aucun point effectivement mesuré, mais c'est le lieu géométrique des points qui sont à l'altitude précisée.

Lieu géométrique veut dire que s'il y a des points que l'on définit (comme dans ton exemple) milieu de AB qui joint au point D qui définira un segment, alors ce point M est défini comme milieu de AB et sa propriété est qu'il est une extrémité du segment MD.
Si le point M n'a pas été défini comme extrémité du segment MD, il n'y aura même pas de procès puisque j'aurais donné un coup de pied dans RIEN.

En fait je trouve que ton exemple est tout à fait clair et explicatif. Un point n'est rien s'il ne sert à rien. Et naturellement on peut le supprimer sans gêner personne.

Plus j'en parle, plus ce sujet me parait important. Donc, à suivre, si la modération n'y voit pas d'inconvénient.

J'ajouterai un mot. On peut construire un nombre infini de points sur ton segment AB, puisqu'on peut trouver un nombre infini de segments qui le coupent. Cela n'est pas contradictoire. On a eu cette discussion à propos de grains de blé sur un échiquier : là le nombre de grains était un nombre fini, il s'agissait de "chose du monde réel" et non de mathématiques. L'ensemble des réels est infini, puisqu'il n'a pas de borne supérieure, mais le monde réel est fini, dénombrable, mesurable, quantifiable etc.

Sur le segment AB qui va de 0 à 1,
si on place le point C à 0,9999...

alors le segment CB est de dimension nulle, donc C= B,
donc 0,999...=1

Dlzlogic a écrit:Je ne cherche en aucun cas à jouer sur les mots, simplement cette définition d'un segment : "ensemble de points" n'a pas de sens, puis qu'un point n'existe pas en lui-même on ne peut donc pas définir un ensemble de chose qui n'existent pas.

Ok, partons sur le principe que les définitions mathématiques d'un point et d'un segment n'ont pas de sens.

Dlzlogic a écrit:Un point n'est rien s'il ne sert à rien.

Mettre existence et utilité sur le même plan me laisse perplexe. L'univers est-il utile ? Existe-t-il ?

Bonjour Beagle,
Ton explication simplificatrice est intéressante, mais ce n'est pas une démonstration.
Le signe '=' a un sens précis en math, et les "..." n'ont pas vraiment de sens précis. De mon temps on écrivait "o" qui se lisait "petit oh".
Il y a un sujet en cours portant sur un résultat aberrant, sur un autre forum. Il y en qui disent "c'est vrai" mais n'apportent ni preuve ni même argumentation, d'autre qui disent "c'est faux" et le prouvent et une troisième catégorie qui dit en substance "on a toujours pu montrer cela (des notions compliquées) sans jouer avec l'infini".

Dans mon message précédent j'ai parlé de "réels", je précise ici qu'il s'agit de nombres et que cette notion est mathématique et n'a rien à voir avec le "monde réel".
D'ailleurs en informatique, on appelle ça des flottants, ça prête moins à confusion.

"Ton explication simplificatrice est intéressante, mais ce n'est pas une démonstration."

oui!Mais aussi très simple:
sur le segment AD qui va de de 0 à 1,
je place les points B et C, pour avoir AB=BC=CD
cela ressemble à couper le segment AD en 3,
donc pourquoi B ne serait-il pas à 0,3333...
le point C ne serait-il pas à 0,6666...
on se le demande, non?

ben alors poursuivons, D n'est-il pas alors à 0,9999...

Donc(?) 0,9999... est une autre écriture du 1, comme one est 1 aussi, uno est 1, les romains écrivaient I, bref 0,999... n'est qu'une autre écriture du 1.

Quant à découper ou plier précisémment sur l'ensemble des décimales en 0,333... sur tous les 3, on s'en fout la scie ou la pliure ne sera jamais de dimension zéro, le point précis existe réellement et sera englobé dans l'ensemble ...

J'ajouterai un petit commentaire personnel, certaines opérations jugées impossibles ou non définies sont réalisées en permanence par des tas de gens très terre à terre comme moi.

Répondons au commentaire personnel : il y a une très grande différence entre ce que tu dis faire et ce que tu fais. Je repense à une histoire de projection où le problème que tu as tenté de formulé n'était clairement pas celui que tu as résolu.

Donc oui il y a plein de gens qui pensent faire des choses impossible en en faisant d'autres :zen:

En fait, je préfère distinguer les mathématiques, disons théoriques, de leurs applications.
La question d'origine est
0.999999999 = 1 VRAI ou FAUX
Ben, c'est faux naturellement. Pour s'en persuader, il suffit de rajouter un '9'.
Peut-on remplacer 0.99999999 par 1 OUI ou NON
Réponse : en général oui, parce 8 chiffres significatifs dépassent généralement la précision nécessaire. Mais si la précision nécessaire et disponible est supérieure, alors NON.

Puis Kikoo a introduit l'écriture "..." qui sous entend "est la même chose aussi loin qu'on veut" . Dans ce cas là, à mon avis, l'utilisation du signe "=" est à proscrire. En effet cela permet aux astucieux de démontrer n'importe quoi. On peut le remplacer pas n'importe quel signe conventionnel dont on donnera une définition, mais le signe égal qui est compris par une majorité comme signe conventionnel d'égalité, devrait être évité.

Concernant les applications, lorsqu'on écrit un nombre décimal avec un certain nombre de chiffres après la virgule, il est sous-entendu que ces chiffres, et l'avant-dernier en particulier, ont une signification cad, dans le langage habituels "sont justes".
Dans ce cas, si on écrit 0.99999999, le dernier '9' étant "presque juste" on doit pas faire une grosse erreur en écrivant 1.0 à la place.

le point C ne serait-il pas à 0,6666...

Dans ce cas, on a 4 chiffres significatifs, le dernier est probablement plus proche de 7, donc on écrira 0.6667

Je détruirai cette réponse dans 10 mn.