Le Serpent Démoralisé

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Posted by: Imod

Un serpent fort courageux s'élance sur une piste de 10 km de long . Il compte parcourir 1 km tous les jours et se reposer la nuit . Malheureusement toutes les nuits la piste en caoutchouc sur lequel il rampe s'étire de 10 km ( on suppose la déformation uniforme ) . Ainsi après la première nuit , le serpent se retrouve à 2 km du départ mais à 18 km de l'arrivée !!!

Le pauvre serpent atteindra-t-il un jour le bout de la piste ?

Imod


Posted by: lapras

salut,
un petit essai, mais pas longuement réfléchi...
Au x ieme jour, le serpent a parcouru x km car c'est 1km/jour
Mais au xieme jour la piste fait 10x km car elle s'allonge de 10km par jour, donc il lui reste au xieme jour 10x - x = 9x km à parcourir :
donc 9km au premier jour, 18, comme tu l'as dit au 2eme jour...
La fonction f(x) = 9x tend vers l'infini quand x->+OO
donc selon moi il n'atteindra jamais la piste lol


Posted by: emdro

@Lapras,

se méfier par principe des énigmes d'Imod!


Posted by: lapras

je suppose donc que j'ai faux ?


Posted by: emdro

Disons que ton raisonnement est faux. Va jusqu'à la troisième étape à la main...


Posted by: lapras

Apres la deuxieme nuit, la piste fait 30 Km en tout, le serpent est à 3 km du départ mais à 27 km de l'arrivée. ??


Posted by: emdro

@Lapras, NON! Le deuxième soir, il est à 3 km du début et 17 de la fin. Mais qu'en est-il le troisième matin?

@Imod: Oui, dans un peu moins de 34 ans...


Posted by: Skullkid

Bonjour, j'ai essayé en posant p_n le quotient de la distance qui sépare le serpent du début de la piste par celle qui le sépare de la fin de la piste au n-ième matin (avec p_0=0), et j'obtiens \displaystyle p_n=\sum_{k=1}^n\frac1{10k}.

Donc comme la série des 1/k diverge, la réponse est oui...après, je sais pas comment savoir quand il l'atteindra.

Edit : avec un programme j'obtiens une valeur semblable à celle d'emdro.


Posted by: emdro

Le grand soir du 12367ème jour?


Posted by: lapras

Emdro, le troisième matin, il est à 27Km de l'arrivée car pendant sa nuit le terrain a augmenté de 10 Km, Non ?


Posted by: emdro

Non! On n'ajoute pas 10 km entre le serpent et l'arrivée, on les ajoute selon l'énoncé uniformément. C'est à dire un peu avant le serpent, un peu après. Proportionnellement.


Posted by: Imod

Citation:
Posté par emdro
Le grand soir du 12367ème jour?

Tout à fait En espérant que le ruban est vraiment très solide et qu'il ne casse pas la veille du grand soir

Imod


Posted by: lapras


Moi qui comprenait uniformément comme en physique : "un mouvement uniforme"(vitesse constante)
J'ai vraiment tres peu de vocabulaire, ça devient grâve....
Emdro, si j'ai bien compris le sens de ce mot, ca veut dire que on ajoute 5km avant le serpent, 5 km apres ?


Posted by: emdro

NON!

3km Serpent 17km

On doit passer de 20m à 30m (*1,5) uniformément. Toutes les distances sont multipliées par 1,5.

1,5*3 km Serpent 1,5*17 km


Posted by: lapras

Ahlala, merci emdro, je suis vraiment vraiment trop bête...


Posted by: emdro

Des bêtes comme cela, on en redemande! C'était juste une absence...


Posted by: Imod

Une petite remarque pour conclure avant que quelqu'un ne se lance dans un cours sur les matières élastiques pour détruire le problème . Il ne faut pas chercher trop de réalisme dans cette histoire , d'ailleurs le message subliminal caché dans le titre laisse croire que le serpent ne d'adonne pas qu'aux produits licites son cauchemar tiendrait plutôt du "cold turkey"

Imod


Posted by: lapras

Bonjour,
avec un programme en C je trouve le jour : 12367


Posted by: emdro

On est donc d'accord (voir post N° 9)!


Posted by: lapras

Ok :)
Je te joins un aperçu du programme ^^
http://img510.imageshack.us/img510/...rpentjb6.th.png


Posted by: Patastronch

Pour ma part,étant donné qu'on est sur un forumd e maths et non d'informatique, j'estime que l'enigme n'est pas résolue. Personne n 'a trouvé comment déterminer le nombre de jours sans programme. D'autant plus que vu la précision qu'il faut pour faire le calcul, il est presque sur que l'ordinateur a tronqué les valeurs et donc vos résultats qu'ils soient faux ou pas, ne peuvent etre considéré comme juste avec certitude. Ou alors démontrez au moins qu'il n'y a pas besoin de plus de N (avec N la précision des floats géré par votre programme) chiffres significatif pour résoudre cette enigme, et ca validera vos résultats.

Sinon pour les matheux, si ca peut vous aider, allez voir du coté de la fonction digamma et la constante d'euler.


Posted by: Hyp

Changez le serpent par Achille, le caoutchouc par la tortue, et on tombe sur l'un des "faux" paradoxes les plus classiques :p
Ceci devrait rendre les choses bien plus faciles.


Posted by: Patastronch

Raté, c'est pas le meme probleme !
Le caoutchoux n'est pas la pour faire jolie, il déforme UNIFORMEMENT le sol. La tortue, elle ne fait qu'avancer.


Posted by: Hyp

C'est bien le même problème. Ca différerait dans le cas où les deux concurrents avaient une cible fixe à atteindre. La tortue avance tout aussi uniformément qu'achille, et est la cible (variable) à atteindre par achille, tout comme l'extrémité du caoutchoux pour le serpent.


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par Hyp
C'est bien le même problème. Ca différerait dans le cas où les deux concurrents avaient une cible fixe à atteindre. La tortue avance tout aussi uniformément qu'achille, et est la cible (variable) à atteindre par achille, tout comme l'extrémité du caoutchoux pour le serpent.


T as pas saisi le probleme du serpent je crois. Fait quelques calculs et tu vas t appercevoir de la simplicité du probleme de la tortue comparé a celui du serpent.

La vitesse de la tortue est constante, celle d'achille aussi. Ici essai de voir pourquoi, en considérant la remarque précédente, ce n'est pas la meme chose.


Posted by: Hyp

Ce n'est pas à cause du fait que l'élongation par jour est assez importante par rapport au parcours du serpent qu'il est plus difficile, le serpent atteindrait sa destination quelque soit la distance finie et uniforme de laquelle s'allongera le caoutchoux.


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par Hyp
Ce n'est pas à cause du fait que l'élongation par jour est assez importante par rapport au parcours du serpent qu'il est plus difficile, le serpent atteindrait sa destination quelque soit la distance finie et uniforme de laquelle s'allongera le caoutchoux.


Oui et tu remarque par contre que si la tortue va plus vite qu 'achille, achille ne ratrappera jamais la tortue (et cela meme sans user la tricherie qui cré le paradoxe d'achille, juste en comparant les vitesse et les points de départ ca suffit). Alors qu'inversement (en virant l'absurdité de la tricherie du paradoxe pour interpreter le probleme) si la tortue va moins vite, achille la ratrappera quoiqu'il arrive. Tu vois bien que c est pas le meme probleme.


Posted by: Hyp

Oui, la remarque du cas contraire (si on inversait les vitesses) est pertinente. Mais par construction de l'énigme, il est clair que le serpent gagnera. Je pense tout de même qu'une bonne partie de ce paradoxe servirait à résoudre celui là, s'il en est un bien sûr.


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par Hyp
Oui, la remarque du cas contraire (si on inversait les vitesses) est pertinente. Mais par construction de l'énigme, il est clair que le serpent gagnera. Je pense tout de même qu'une bonne partie de ce paradoxe servirait à résoudre celui là, s'il en est un bien sûr.

Maintenant qu'on est d'accord passons a l enigme alors :)

Oui c est facil de démontrer que le serpent arrivera au bout. Mais ce qui est plus difficile est de déterminer le nombre de jours qu'il lui faudra (sans programme).


Posted by: Hyp

Citation:
Posté par Patastronch
Mais ce qui est plus difficile est de déterminer le nombre de jours qu'il lui faudra


Si je regarde l'énoncé, il ne nous est pas demandé de spécifier le nombre de jours dans une telle éventualité, mais simplement si le serpent y arriverait ou non.

Je ne peux pas encore mettre en équation le raisonnement, mais il me semble que la différence (ou quotient) de marge est variable en fonction du parcours du serpent. Elle se fait même de plus en plus grande chaque jour! Par contre, au voisinage de l'infini, le serpent devrait finir son chemin un jour. C'est pourquoi je pense à un petit point commun entre les deux, le fait une qu'une série infinie de nombres strictement positifs puisse converger vers un résultat fini, comme l'indique Wiki.

Donc ma réponse à Imod, est que ce jour J sera supérieur à un rang N, tel que pour tout ɛ>0 et une différence de marge X bien définie, J>N , |X|<= ɛ

La confusion de cette énigme est dans la procédure de démonstration elle même. Même avec l'idée que le serpent réussirait, on se voit suivre une fausse piste en croyant qu'il doive exister un jour bien précis (et unique) qui vérifie cela, alors qu'il serait plus commode de montrer qu'à partir d'un certain stade, la distance entre l'extrémité du caoutchouc et du chemin commence à tendre, voire tend vers 0.


Posted by: Patastronch

Ce nombre de jour est un nombre entier non infini. On peut donc théoriquement le calculer avec les données qu'on a. C 'est pas simple mais vous devriez (je me repête) regarder du coté de la fonction digamma et la constante d'euler et voir comment on peut avec ces objets résoudre notre probleme. J'aurais aucun mérite et aucun interet a vous donner la solution tout cru, alors un petit effort D'autant plus que cette technique de résolution est tres utile et tres peu répendu dans l'enseignement, alors ca vous sera que bonus pour votre culture :)


Posted by: Hyp



Si c'est le cas, alors j'ai dû commentre une grave erreur de raisonnement .

Par contre, je ne savais pas que tu avais la solution en main.

Je me renseigne sur ces outils et j'essaie de tout reconsidérer

EDIT// On parle bien de la constante Euler-Mascheroni ?
EDIT// Self-Réponse: Oui c'est bien ça.


Posted by: lapras

Bonjour,
on devrait bien pouvoir trouver une relation de récurrence avec cette suite :
Un+1 = (n + 1)/n * (Un + 1) (distance départ-serpent)
Vn+1 = 10(n + 1) - Un+1 (distance serpent-arrivée)
Non ?


Posted by: Hyp

Il faudrait donc utiliser la fonction digamma sous prétexte que la différence de deux séries, ou suites divergentes puisse converger (notamment la différence entre la divergence du parcours du caoutchouc par rapport à celui du serpent) ?

Je pourrais peut être exploiter la série harmonique, mais je ne vois pas à quoi assimiler le terme général de ln(n). Une petite indication si possible ?


Posted by: nodgim

Appliquer la formule:
e^(10-C)-1, C étant la constante d'Euler, et valant dans les 0.577..
On retrouve cette formule assez facilement.










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